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群論をかたるスレッド

1 :132人目の素数さん:03/11/07 22:55
如何ですか。

2 :132人目の素数さん:03/11/07 22:59
(・∀・)グンロン!!

3 :132人目の素数さん:03/11/07 23:08

  ∧_∧
 <=(・∀・) <俺は生粋の群論専攻だけど、幾何学は完全に群論起源になっているニ…ますね
 (    )  
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 〈__フ__フ

4 :132人目の素数さん:03/11/07 23:10
失敗、正しくは

  ∧_∧
 <=(・∀・) <俺は生粋の幾何専攻だけど、幾何学は完全に群論起源になっているニ…ますね
 (    )  
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 〈__フ__フ

5 :132人目の素数さん:03/11/07 23:11
ホモロジーという意味で?

6 :132人目の素数さん:03/11/07 23:14

  ∧_∧
 <=(・∀・) <俺は生粋の幾何専攻だけど、幾何学はクラインの一言で終了ニ…ですね
 (    )  
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 〈__フ__フ

7 :群の定義:03/11/07 23:15
次の条件を満たす時、演算・でSは群になるという。
@a・b∈S
A結合法則
 任意のa b c∈Sに対して (a・b)・c=a・(b・c)が成立
B単位元の存在
任意のa∈Sに対して a・e=e・a=aを満たすe∈Sが存在
C逆元の存在
 任意のa∈Sに対して a・b=b・a=eを満たすb∈Sが存在

8 :132人目の素数さん:03/11/07 23:18

  ∧_∧
 <=(・∀・) <俺は生粋の環論専攻だけど、群論は環論のほんの一部ニ…だね
 (    )  
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 〈__フ__フ

9 :基本過ぎる問題:03/11/07 23:21
M={A:2次正方行列|detA=1}は行列の積で群になる事を示せ。

10 :132人目の素数さん:03/11/07 23:25

  ∧_∧
 <=(・∀・) <俺は生粋の群論専攻だけど、detが準同型なことはウリ…起源…ですね
 (    )  
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 〈__フ__フ

11 :132人目の素数さん:03/11/08 04:25
>>7
3は
> あるe∈Sが存在して任意のa∈Sに対して a・e=e・a=aを満たす
って書くべき。

その書き方だと、e は a∈S によって違うものだっていう解釈も成り立つわけで。
実際そういう解釈の元で、
G = {0,1}, a・b = a とし、a に対する e は a、
a^-1 = a とすれば、G は群、ってことになってしまう。

12 :132人目の素数さん:03/11/08 04:50
> あるe∈Sが存在して任意のa∈Sに対して a・e=e・a=aを満たす
などと書くと
「あるe∈Sが存在して任意のa∈Sに対して a・e=e・a=aを満たす」
が引用文と言う意味になる罠

ちなみに
あるe∈Sが唯一つ存在して、任意のa∈Sに対して a・e=e・a=aを満たす
とするべきところ。

13 :132人目の素数さん:03/11/08 05:11
>>12
唯一って条件は要らないよ。
e, e' が「任意のa∈Sに対して a・e=e・a=a」という条件を満たすなら、
e = e・e' = e' となるわけで。

14 :132人目の素数さん:03/11/08 05:18
>>13
いづれにせよ一意性を言わないでいると 4 が述べられない。

15 :重箱の隅のほうの人:03/11/08 05:18
>>12
> > あるe∈Sが存在して任意のa∈Sに対して a・e=e・a=aを満たす
などと書くと
「> あるe∈Sが存在して任意のa∈Sに対して a・e=e・a=aを満たす」
でなく
「あるe∈Sが存在して任意のa∈Sに対して a・e=e・a=aを満たす」
が引用文という意味となって、以降の文章と意味が合ってない罠。

16 :132人目の素数さん:03/11/08 05:21
>>15


17 :132人目の素数さん:03/11/25 01:51
>>14

4を、

3 で定められたeの集合をEとする。この時、ある e_*∈Eに対して、
全てのa∈Sについて a・b=b・a=e_* を満たすb∈Sが存在

にすれば問題なし。ちなみに、群の定義を片側だけでやろうとすると、
実際にこういう定義にせざるを得ない。本当にこういった定義で書いた
本は1冊しか見たこと無いが(藁)。





18 :132人目の素数さん:03/12/06 04:37
有限群をすべて決定したということが昔あったと思うので、
(有限)群論は終わったんだよネ。もはや有限の組合せの
範囲で話がすべて閉じるんだから。

19 :132人目の素数さん:03/12/06 14:10
群とは、ただ一つの対象からなる圏ですべての射が同型射となるものと
定義してよい。
この定義の前にモノイドを定義したほうがわかりやすいだろうな。
モノイドとはただ一つの対象からなる圏だ。
このように、圏論を使うとモノイドとか群が非常に基本的な数学的対象
であることがわかる。因みに、この場合の関手は準同型に他ならない。

20 :GO MAXIMA:03/12/06 14:24
>18
有限単純群の分類(The Classification of Finite Simple Groups,略してCFSG)
は、1980に最初でたときは 15000ページもあり不備もあってレフェリーを泣かせた
らしい。その後 たった5000ページの正しい証明が出た。これにより非可換有限群は
3つのタイプ、5次以上の交代群、Lie type群、26個のsporadic群 に分類されること
になった。CFSGを使って言えることは 膨大だが、同時に分らないことも 膨大に増えた
のだということを知ってほしいね。例えば Eを位数nで対称群と交代群以外で単純群となる
ものが存在する正の整数nの集合とする。いま e(x)= n(E ∩{0,x}) とおく。CFSGから
e(x)=2π(x)+(1+√2)x^(1/2) +O(x^(1/2)/logx) が成立する。π(x)は素数関数である。
有限と無限の間の関係には興味をそそる問題も多い。







21 :132人目の素数さん:03/12/06 16:16
>18

極端に極論すればそうだろうけど…。
でもまだFeit-Thompsonの定理の簡略化など今後も問題はありますよ。
もちろん、一度証明を与えた定理をさらに簡略化することに
意味があると思えば、ですが。

構造論"最大の"問題は片付けられたけど、"最大"にこだわらなければ
まだまだ楽しい分野だと思うよ。

>20

その後、たった?5000ページにまで減ったのですか?おどろきです。

22 :GO MAXIMA:03/12/06 16:45
>20 訂正 これにより非可換有限群は
ーーー> これにより 非可換単純有限群は
>>21 15000のほうは ぼくも見たことは無いんだ。実際 印刷もされてない。
5000ノホウは一部がAmerican Mathematical Society からdaniel Gorenstein
,Richard Lyons and Ronald Solomonによって出ている。
なほ Baseの問題のように 分類の問題にしても 問題は広がっていると
思う。CFSGは攻略可能なという意味で最大だったにすぎない。
自分の専門を 狭く限定すると 有限群は終わったというような ばかげた
感慨に浸ることになるが、CFSGを使って膨大な成果がでていて、問題も
周辺に広がり 他分野からこの分野に転向する人も多い、外国では。

23 :132人目の素数さん:03/12/06 19:35
そのうちもっと短くなりますかね?

24 :書き込み:03/12/07 17:52
>e(x)= n(E ∩{0,x}) とおく

ここの記号の意味が分からない。
あと、なんだかリ-マン予想に似た形の漸近式を出して来たけど、
リ-マン予想とは独立にそのような漸近式がでてくるのでしょうか?

25 :GO MAXIMA:03/12/07 18:38
>>23 当然 何時の日か もっともっと数学が進めば 劇的に短くなるだろう。
>>24
Eと開区間{0,x} の共通部分の要素数のことがe(x)
これはCFSGを使って証明されている。


26 :132人目の素数さん:03/12/07 18:57
ところで、Feit-Thompsonの定理のほうは、255ページからそれから
まったく短くなっていないのかな?
少しはこれのページ数が少なくなったのかな?
こちらの短縮化も気になるところです。

>>25

5000ページから1000ページくらいなら期待できるかな(^^;。

27 :132人目の素数さん:03/12/12 00:47
Lharc か gnu-zip で圧縮すればいいかもしれない。

28 :132人目の素数さん:03/12/12 01:03
それでは問題の本質的な解決になっていない。

でっかい紙に小さい文字で書く、これ。

29 :132人目の素数さん:03/12/13 05:56
>>28
最凶

しかし、これをするとペンダコができるという諸刃の剣
素数にはお薦めできない。

30 :132人目の素数さん:03/12/31 06:55
8

31 :132人目の素数さん:04/01/10 06:54
063

32 :132人目の素数さん:04/01/26 06:22
4

33 :132人目の素数さん:04/02/01 04:52
482

34 :132人目の素数さん:04/02/12 13:10
群論を「騙る」スレッドになってるなぁ

35 :132人目の素数さん:04/03/01 02:17
「群論の星」に話題を殆ど取られてしまった。

36 :132人目の素数さん:04/03/07 13:05
119

37 :132人目の素数さん:04/03/19 14:45
新指導要領に群論がありましたよ

38 :132人目の素数さん:04/04/04 15:20
843

39 :132人目の素数さん:04/04/04 15:30
777

40 :132人目の素数さん:04/04/25 19:46
443

41 :132人目の素数さん:04/05/05 18:00
443

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