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俺が数学を復習するスレ

1 :132人目の素数さん:03/11/23 12:07
俺が自分のために数学を復習するスレです。

微分方程式&行列、高校数学の基礎
解析学等、今後必要になりそうなものを1ヶ月程度でやっちゃう
つもりです。

2 :132人目の素数さん:03/11/23 12:09
>>1 オナニーは自分で大学ノートでも買ってやってくれ。

3 :132人目の素数さん:03/11/23 12:11
微分方程式

一階常微分方程式
直接積分形
変数分離形
y'=αx+βy+γ形
同次形
一階線形微分方程式
ベルヌーイ形
完全微分方程式
一階高次微分方程式

以上8つを復習します。

4 :132人目の素数さん:03/11/23 12:14
直接積分形 終了

5 :132人目の素数さん:03/11/25 15:25
ごめん。俺も(簡単な)数学を勉強する。ちなみに高校生です。
どうか馬鹿にしてなじってください。

Wikipedia ヘロンの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
の証明の式を完全に書いておきます。

cos C = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)
sin^2 C = 1 - cos^2C = (1 + cosC)(1 - cosC)
= (2ab)^-2 * (2ab -a^2 -b^2 +c^2) * (2ab + a^2 +b^2 -c^2)
= (2ab)^-2 * (c^2 - (a-b)^2) * ((a+b)^2 - c^2)
= (2ab)^-2 * (c -a +b)(c +a -b)(a +b -c)(a +b +c)
ここで、 s = (a+b+c)/2とすると、 sin^2C = (2ab)^-2 * 2^4 * s(s+a)(s+b)(s+c)
よって(1/2) * a * b * sinC = sqrt( s(s+a)(s+b)(s+c) )
これは三角形ABCの面積になる。

6 :132人目の素数さん:03/11/25 15:37
ついでに三角関数の加法定理の証明も書いちゃう

# Vector A を V~A と表記する
V~A = (cosα, sinα) 、 V~B = (cosβ, sinβ)
とし、これより |V~A| =|V~B| = 1 、さらに
V~A ・ V~B = |V~A| * |V~B| * cos(α - β) =
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ #←成分計算
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
同じく、
V~B * V~A = |V~B| * |V~A| * sin(α - β) =
sin(α - β) = sinαcosβ - sinβcosα
sin(α + β) = sinαcosβ + sinβcosα

7 :132人目の素数さん:03/11/25 15:43
>>6により明らかな諸公式
cos2α = cos α+α = cos^2α - sin^2α = 2*cos^2α -1 = 1 -2*sin^2α
sin2α = sin α+α = 2sinαcosα
sinαcosβ = (1/2) * (sin(α - β) + sin(α + β))
cosαcosβ = (1/2) * (cos(α - β) + cos(α + β))
sinαsinβ = (1/2) * (cos(α - β) - cos(α + β))

他にもあったけど忘れました。

8 :132人目の素数さん:03/11/25 15:55
ついでにageちゃいます。

9 :132人目の素数さん:03/11/25 15:57
age忘れた。

10 :132人目の素数さん:03/11/26 02:06
>>6
A=(a1,a2), B=(b1,b2) のとき、
a1b1+a2b2 = |A||B|cos(∠AB) となることを証明しる。

11 :132人目の素数さん:03/11/26 02:27
>>10

#角AB = agl~AB と表記する
cos(agl~AB) = ( |A|^2 + |B|^2 - |b1-a1 , b2-a2|^2 ) / (2|A||B|)
より、
|A||B|cos(agl~AB) = ( |A|^2 + |B|^2 - |b1-a1 , b2-a2|^2 )/2
= (a1^2 + a2^2 + b1^2 + b2^2 - (b1 - a1)^2 - (b2 - a2)^2)/2
= a1b1 + a2b2
よって
a1b1 + a2b2 = |A||B|cos(agl~AB)

#でもこれらの体系をすべて証明するとき、定理どうしで補いあってしまって
#結局トートロジになってしまう気がするから、もっと原始的な証明(教科書にのってるの)
#覚えた方がいいんだろーなーと思う。

12 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/26 20:23
今日は複素数平面をやりました。
そのうち複素数についての諸性質をここに証明と共に書き込みたいと思います。

13 :132人目の素数さん:03/11/26 21:03
まあ基本的なのを…
虚数とは所謂、sqrt(-1)のことで、二乗したら-1になる数。
この数の導入により従来解が無いとされていた二次方程式などに
新たに解を設定することができる。通常、虚数は
Imaginary Number の頭文字を取り、iと表記し、
i^2 = -1である。なお、(x>=0) sqrt(-x)=sqrt(x) * i、注意しておきたい点として、
sqrt(-3)*sqrt(-5)=sqrt(-3 * -5)=sqrt(15)とはならない。正しくは、
sqrt(-3)*sqrt(-5)=(i * sqrt(3))*(i * sqrt(5))=-sqrt(15) と計算しなければならない。

#つまり、x,y>=0に対しては、sqrt(x)*sqrt(y)=sqrt(xy) (←従来の平方根)がなりたつが、
#そうでない場合(x<=0 or y<=0)は成り立つとは限らない。


14 :132人目の素数さん:03/11/26 21:14
任意の実数:aに対し、a + i = i+a、ia = ai (以下略)は勿論成り立つ。

さて、複素数とは虚数と実数を含んだ数で、まー単刀直入にいえばー、
 3 + sqrt(-4) = 3 + 2i
みたいな数。複素数は任意の実数x、yを用い、
 x + yi
と表記できる。このうち、y=0の複素数を実数と言い、x=0の複素数を純虚数と言ったりする。

まあ、つまらない解説はここまで…

15 : ◆YkSaKRCaxM :03/11/26 21:16
あ、13-14は5です。トリップ忘れちゃったのでトリップ変えます。

16 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/26 21:22
忘れてたと思って適当に入れたら前のと同じだった。なんだか幸せな予感…!

さて、複素数α、γに対して、α + γ = γ + αが成り立つ。
 なぜならば、a,b,c,dを適当な実数としたとき、α = a + bi 、γ = c +di と表せ、
 α + γ = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i
 γ + α = c + di + a + bi = (a + c) + (b + d)i よって成り立つ。
さらに、αγ = γαも勿論成り立つ。
 上記と同じ設定で、
 αγ = (a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i
 γα = (c + di)(a + bi) = ac - bd + (ad + bc)i

なんか他にも示さなきゃいけないような気もするけど、
次は共役な複素数について

17 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/26 21:49
共役(きょうやく:関数と同じく、別の漢字もある)な複素数について
複素数αがあり、a,bを適当な実数としたとき、
α = a + biと表せるのは既知だが、これに対し、a - biを`αの共役な複素数’と呼ぶ。
#なお、普通は表記として、たとえば、αの共役な複素数は、αの上に棒線をひいて
#表すが、ここでは!αと表記する。階乗と見間違えやすいけど、愛嬌ということで…
まとめると、 α = a + bi , !α = a - bi ということになる。
よって、以下のような性質が成り立つ。
#!!α = α #α + !α = 2a #α - !α = 2bi
#αが実数である ←→ α = !α (高校段階では重要かもしれません)
#αが虚数である ←→ α + !α = 0
さらに二つの任意の複素数α、βに対して、
!α * !β = !(αβ)  、 !α + !β = !(α + β)
関係無いけど、
αβ = 0 ←→ α=0 or β=0

18 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/26 21:50
失礼、間違い訂正
l.10 #αが"純"虚数である ←→ α + !α = 0

19 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/26 22:01
誰も見てないと思いますが(>>1すら見てないかもしれない & 乗っ取ってゴメソ)、
突っ込みありましたら、どうぞ。もしこのノートが大量にたまったら一つのサイトにして
数学を学びたい高校生のために公開したいと思います。わかりやすさが糞レベルですが。

ちなみに、>>11も俺です。

20 :132人目の素数さん:03/11/26 22:43
2乗して-1になるもののひとつを i と書くと、
-i (=-1*i) も2乗して-1になるものであることが分かる。

つまり、2乗して-1になるものは2つあり、
その2つをa,bとすると、a,bのうち
どちらを i と呼び、どちらを -i と呼ぶかは
私たちが勝手に決めてしまっていることになる。

21 :132人目の素数さん:03/11/26 22:49
このことにより、
なぜ複素共役と言うものを考えるのか、
(あるいは複素共役が重要なのか)
また、なぜ(√-1)*(√-1)≠(√(-1)*(-1))
となってしまうかの理由がわかるだろう。

22 :132人目の素数さん:03/11/27 01:13
そろそろ極形式でも作りなされ

23 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/27 01:22
もう少しお待ちください。

24 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/28 21:25
さてさて、みなさんこんにちは。また始めます。語調が微妙に違いますが、気にしないでください。

複素数の導入により、従来解が無いとされていた二次方程式は解を持ちます。

二次方程式の一般型:0 = ax^2 + bx + c から、以下のような変形によって解の公式を得ることができます。
0 = a(x + b/2a)^2 - b^2/4a + c = a(x + b/2a)^2 + (-b^2 +4ac )/4a ⇔
a(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a ⇔ (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2 ⇔
x + b/2a = ±sqrt(b^2 -4ac)/2a よって、
x = {-b ±sqrt(b^2 -4ac)}/2a という式(二次方程式の解の公式)を得ることが出来ます。

従来、実数のみで二次方程式を扱う場合、解の公式のsqrtの中身、b^2 -4acが負になるということは
ありえないこととされ、扱うことは出来ませんでした。しかし、複素数を導入することによって、
このような場合においてもxに解を設定できます。

例:0 = x^2 + 2x + 3を解け。
解の公式より、 x = -1 ±sqrt(-2) = -1 ±sqrt(2)i

>>20-21
そのことをすっぽり見逃してました。書き込みありがとうございます。

25 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/28 21:41
〜便利な二次方程式の解の公式
2b' = b とし、前述の解の公式のbをb'でおきかえると、
x = {-b ±sqrt(b^2 -4ac)}/2a = { -2b' ±sqrt(4b'^2 -4ac)}/2a = {-2b' ±2sqrt(b'^2 -ac)}/2a となり、
x = {-b' ±sqrt(b'^2 - ac)}/a
となります。bが二の倍数の時に使うと便利でしょう。

〜二次方程式の解の判別
二次方程式の解が、複素数の解か、実数の解かを簡単に調べるにはどうすればよいのでしょう?
実際、解の公式のルートの中の正負によってそれらが決定するので、
D = b^2 - 4ac #Discriminate(v,判別する)の頭文字D
と定義します。このとき、
(D > 0) の二次方程式は実数解を二つ持つ。
(D = 0) の二次方程式は実数解(重解)を一つ持つ。
(D < 0) の二次方程式は虚数解を二つ持つ。またそれら二つの解は互いに共役な複素数である。
また、2b' = bとしてD/4 = b'^2 -acを解の判別式として使ってもよいでしょう。

26 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/28 21:59
〜解がα、βの二次方程式
「x は a1 or a2 or a3 or a4 … aN と等しい」という命題は、
(x -a1)(x -a2)(x -a3)(x -a4)…(x -aN) = 0 と同値です。 …[1]

ここに、解がα、βの二次方程式があったとします。
つまり、「x は α or β と等しい」ということなので、[1]より、
(x - α)(x - β) = 0 ということになり、⇔ 0 = a(x - α)(x - β) = ax^2 -(α + β)ax + αβa
また、この二次方程式がax^2 + bx + c = 0と表せるとしたとき、
0 = ax^2 + bx + c = ax^2 -(α + β)x + αβとなり、
a = a 、 -(α + β)a=b 、 ca=αβ これらを整理すると、
-b/a = α + β 、 c/a = αβ となります。

例:解が2または6の二次方程式0 = ax^2+bx+cの-b/a、c/aを求めよ。
上の式より、-b/a = 8 , c/a = 12

例:0 = x^2 + 2x + 3の二次方程式の解をα、βとしたとき、α + β、αβ、1/α + 1/βを求めよ。
上の式より、α+β=-2 , αβ=3 ,
1/α + 1/β = (α + β)/αβ = -2/3

27 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/28 22:17
高次方程式とばすか…。いまいち代数学の基本定理周りが気持ち悪いです。
だから難解な書き方になっちゃった。

〜極形式への導入
ω = a + biを座標上に表したいとする。
x-y座標を取り、x軸方向にaの値を、y軸方向にbの値を取るとき、
x軸を実軸(実数の値を反映する軸)、y軸を虚軸(虚数の値を反映する軸)と呼ぶ。

例: 3 + 2iを適当な座標上に表せ。
x-y座標上にて、x = 3と y = 2の交点をポイントすればよい。

このように座標上で複素数を表すとき、複素数ωに対し!ωは実軸に対して対称で、
ωに対し-ωは原点に対して対称で、ωに対し-!ωは虚軸に対して対称である。

28 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/28 22:41
〜複素数の絶対値
ω = a + biの絶対値を以下のように定義する。
|ω| = sqrt(a^2 + b^2)
これは実数の定義もカバーできる。座標上では|ω|は原点から複素数ωへの
距離という意味にもなる。また、
|ω|^2 = a^2 + b^2 = ω!ω = (a + bi)(a - bi)
これもよく使う式である。

〜極形式
非常に扱い安い形の複素数式で、
ω = |ω| * (cosθ + isinθ) #θはωの座標上の角度
のように書く。たとえば、a = 1 + iの場合、|a| = sqrt(2)なので、
a = sqrt(2) * {1/sqrt(2) + i*1/sqrt(2)} = sqrt(2) * {cos45° + isin45°} …
これが複素数aの極形式となる。実際、aを座標上にとると、
角度45°、原点からの距離sqrt(2)であることがわかる。

〜偏角について
たとえば、a = 1+iという複素数についての偏角arg(a)は、aの座標上の角度が45°であるので、
arg(a) = 45°+360°*k (kは任意の整数)
と定義される。#argはargument(n,偏角)から取っている
詳しく言えば、aの角度などというのは45°、405°、-315°…のうちどれかなどと
決定することは出来ないので、このように偏角を定義するのである。
 #1+i = sqrt(2){cos45°+isin45°} = sqrt(2){cos405°+isin405°} = sqrt(2){cos-315°+isin-315°}…

29 :132人目の素数さん:03/11/28 22:53
0≦arg(z)<360 ってしとくほうがスッキリして良い。

30 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/28 22:56
〜極形式で表された複素数の積、商
極形式といえばコレ!非常に簡単な計算で済む。
α = |α| * (cosa + isina)、β = |β| * (cosb + isinb)とし、
αβ = |α||β| * {cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) + i[sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) ]}
となり、三角関数の加法定理(>>6参照)、
cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) = cos(a + b)
sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) = sin(a + b)より、
αβ = |α||β| * (cos(a+b) + isin(a+b))となる。
座標上で見れば、複素数αをβの角度分回転させ、原点Oからの距離を|β|倍したことになる。
また商についても同様に三角関数の加法定理を使うことにより、
α/β = { |α|/|β| } * (cos(a-b) + isin(a-b))
となる。

なんだか疲れたので今日はこれまで〜。また気が向いたら書きに来ます。

#荒らしと変わらないな(ワラ

31 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/11/28 23:01
気づかないうちにレスが!

>>29
実はあんまり偏角理解してません…
そういうふうにおいちゃっても何も不都合でないのかな?
少し考えてみます。

32 :132人目の素数さん:03/11/28 23:19
arg(a)のうち、0≦arg(z)<360°をみたす値のことを
「主値」と言って、Arg(z)と表す。

例えば、
a = 1+i のとき、
arg(z) = 45°+360°*k (kは任意の整数)
Arg(z) = 45°

なんてやったりします。

33 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/12/01 21:14
>>32
なるほど!納得できますた!ありがとうございました!

ということで、今日はちょっと違う話題を…

34 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/12/01 21:29
とりあえずゴミみたいな説明ですが、書いてみます。

積分(Integral)

不定積分

あるf(x)に対して、{F(x)}' = f(x)というF(x)があるとする。
このF(x)をf(x)の原始関数という。しかし、F(x)はf(x)に対して、一意には定まらない。

例: f(x)=xの原始関数を考える。すると、F(x)=x^2/2でも、F(x)=x^2/2+3でも、
F(x)=x^2/2-100でも良いことがわかる。

つまり、上の例でいえば、F(x)=x^2/2+C (Cは任意の定数)を微分すれば、
f(x)となるわけで、逆に言えば、f(x)の原始関数としてふさわしいF(x)は、
F(x)=x^2/2+Cと表すことが出来る。このとき、Cは積分定数という。

35 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/12/01 21:39
さて、f(x)のある原始関数をF(x)としたとき、
∫f(x)dx = F(x) + C (Cは積分定数)
と表す。(こんなんでいいんだろか…)
定義から、{F(x)}' = f(x)であるのは明らか。また、g(x)の原始関数をG(x)としたとき、
∫{f(x) + g(x)}dx = F(x) + G(x) + C
aを定数とし、
∫af(x)dx = a∫f(x)dx
(…以下略諸性質は略)

ごめんなさい。今日はちょっと忙しいので、書きたいこと書いちゃいます。

36 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/12/01 21:54
定積分

x=a , x=b , x-axis , f(x)に囲まれた部分の面積を求めるにはどうすれば良いだろう?
これらは不定積分や微分の概念を利用すれば簡単に求めることが出来る。
(f(x)には原始関数F(x)が存在するものとする)

まず、a〜bにかけて、A[0]、A[1]、A[2]、A[3]…A[N] (ただし、A[0]=a、A[N]=b)というように
小区間に区切る。このとき、求めたい面積Sは、
Σ[i=0 to N-1]{ A[i+1] - A[i] }*{f(Ai)}や、Σ[i=0 to N-1]{ A[i+1] - A[i] }*{f(Ai+1)}
に近くなる。Nを大きくし、区間を細かくすればするほど求めたい面積Sに近くなる。
最終的に、Nを無限に近づけた時、
S = Σ[i=0 to N]{ A[i+1] - A[i] }*{f(A[i])} = Σ[i=0 to N]{ A[i+1] - A[i] }*{f(A[i+1])}
となる。また、A[i+1]-A[i]がきわめて小さいことから、これらを使い、以下のように微分を適用できる。
f(A[i]) = { F(A[i+1]) - F(A[i]) } / {A[i+1] - A[i]} これより
⇔ A[i+1] - A[i] = { F(A[i+1]) - F(A[i]) }/f(A[i]) よって、
S = Σ[i=0 to N]{ A[i+1] - A[i] }*{f(A[i])} = Σ[i=0 to N]{ F(A[i+1]) - F(A[i]) }
= (展開すると…) F(A[2]) - F(A[1]) + F(A[3]) - F(A[2]) … + F(A[N])
= F(A[N]) - F(A[1]) = F(b) - F(a)
よって、面積: S=F(b) - F(a)となる。また、これを∫[a to b]f(x)dx = F(b) - F(a)のように書く。

37 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/12/01 21:55
ウワーン!!
すんごい抽象的でわかりにくく、不正確な説明になってしもうた!
世間のみなさま、ごめんなさい

38 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/12/09 18:18
保守。テスト終わったらまた書き込みます。

39 :132人目の素数さん:03/12/09 23:16
1 名前:132人目の素数さん 投稿日:03/11/23 12:07
俺が自分のために数学を復習するスレです。

微分方程式&行列、高校数学の基礎
解析学等、今後必要になりそうなものを1ヶ月程度でやっちゃう
つもりです。




こんなDQN進度じゃ絶望的だな

40 :5 ◆YkSaKRCaxM :03/12/09 23:19
>>39
>>1さんはどこかにいったみたい…

41 :132人目の素数さん:03/12/09 23:43
>>39
>>1さんを馬鹿にするなあああ

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