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素人が位相数学をやってみるスレ

1 :拘束神戸:03/12/05 20:58
東京大学出版会
『基礎数学14 数学の基礎 集合・数・位相』
齊藤正彦著

これを読んでみます。
1章の終わりまでとりあえず読んでみました。

2 :(・人ζもみもみ ◆Momi/T3ouE :03/12/05 20:59
駄スレ保守

3 :132人目の素数さん:03/12/05 21:01
自習の報告をするだけならこちらへ

毎日の勉強成果を報告するスレです。
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1044204528/

4 :132人目の素数さん:03/12/05 21:05
位相に関する話題はこちらへ。


位相について語ろう!
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/994688750/

5 :拘束神戸:03/12/05 21:25
うわ〜
補導されちゃったよ〜

6 :拘束神戸:03/12/06 23:10
age

7 :132人目の素数さん:03/12/07 00:35
スレ立てるんなら一生懸命ネタを提供するつもりがないと続かないだろう。

8 :132人目の素数さん:03/12/07 01:48
「位相数学」って呼び方がなんとなく古めかしくていいねw

9 :132人目の素数さん:03/12/07 02:00
以下はブルバキの "general topology" 読書日記になりました。

10 :拘束神戸:03/12/07 02:15
>>7
はい
よろしくお願いします

>>8
古めかしいんですか
そのへんおことを適当に語っていただけるとかなりうれしいです

>>9
逝け

11 :132人目の素数さん:03/12/07 06:57
松本幸夫の多様体の基礎をかってきました。

12 :132人目の素数さん:03/12/07 16:08
素人ってどの程度素人なの?

まったくの素人がトポロジーなんかに憧れて読むと
激しくつまらないんじゃないか > 斎藤

あと、メール欄に hage って入れてるお前はをっさんですか?

13 :132人目の素数さん:03/12/07 16:46
「位相数学」って、具体的には何をやってみたいの?

オイラー数とかホモロジー群とか基本群とか、そういうのについて知りたいんだったら、
一般位相空間(=general topology)の本には書いてないから、位相幾何(=トポロジー)
の本を読んだほうがいいよ。

田村一郎『トポロジー』岩波全書は、高校数学の知識でいきなり読めると思う。

14 :132人目の素数さん:03/12/07 18:21
>>13
>田村一郎『トポロジー』岩波全書は、高校数学の知識でいきなり読めると思う。

無理でしょう。線形代数とか代数の初歩とか解析の初歩(とくに実数論)
などの知識が必要でしょう。

15 :132人目の素数さん:03/12/07 18:37
>>14
そっかな? 意欲があれば読めるんじゃない。最初のほうに一応必要な知識
がまとめられているし。

それに実数論を知ってる必要はないような気がするけど・・・

16 :132人目の素数さん:03/12/07 19:07
横レス失礼。

実数論というのは、たぶん“連続性の議論の仕方”とかのつもりではないか?
そういうところを含めて松本幸夫「トポロジー入門」のほうが親切に書いてあるように思う。
ただ、基本群がメインで、ホモロジーは扱っていないけど。

17 :132人目の素数さん:03/12/07 19:12
>>15
最初の必要知識のまとめは、ある程度素養のある人向けでしょう。
あそこに書いてあることをあの本で初めて学ぶ人には難しいでしょう。
実数論を知らないで位相幾何学がわかるわけない。それだと、
有限複体がコンパクトであることも理解出来ない。

18 :132人目の素数さん:03/12/07 19:23
>>17
まあ、きちんとやるんだったら、もちろん位相空間論や解析の初歩をやってから
位相幾何に入ったほうがよいのは同意。数学科の学生だったらそうしたほうが
いいだろうけど、>>1はなんとなく位相幾何に触れてみたいだけじゃないのかな?

だったら、一般位相をシコシコやってるより、位相幾何の初歩的な本を読んだほうが
いいと思って。折れは読んだことないけど、>>16の松本幸夫「トポロジー入門」も
いいかもね。

19 :132人目の素数さん:03/12/07 19:33
>>1 の本を見る限り、位相空間を勉強したいんじゃないの?
ということで、重複。

位相について語ろう!
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/994688750/

20 :132人目の素数さん:03/12/07 19:36
位相の初歩なら、漏れも松本幸夫「トポロジー入門」に一票。
でも、一般位相をやりたいなら最初のネタとして位相幾何はいまいちだと思う。
フーリエ解析あたりがいいかな?

21 :132人目の素数さん:03/12/07 19:43
>>19
1は、おそらく位相空間論と位相幾何の違いは知らないのでは?
斎藤の本は何となく選んだだけのような気がする。

折れが勝手に想像している>>1のイメージは、文系の哲学専攻か
なんかで、例の『「知」の欺瞞』関連の話とかに触発されて「位相数学」
を勉強してみたいと思ってる奴。

で、そうだとしたら、位相空間論より位相幾何を勉強したほうが
いいのではと思ったわけ。

22 :132人目の素数さん:03/12/07 19:53
なんだ、哲厨ホイホイスレか

23 :132人目の素数さん:03/12/07 20:07
とりあえず、>>1>>12-13あたりの質問に答えてもらわないと、
なんとも言えないというわけですな。

24 :132人目の素数さん:03/12/07 20:17
やる気が無いなら逝け。あるのならさっさと実行に移せ

25 :拘束神戸:03/12/07 23:01
おお…
しばらく見ないうちにものすごいレスがついていますな。
みなさんありがとうございます。
自分はK罪学のDです。
決して実用に資することのないものではありません。
イパーン均衡分析なんかでは知っておいたほうがいいらすぃです。
ちなみに私の専門はそっちではないのでアレですが。

>>21
位相空間論と位相幾何の違い
サッパリわかりません

ちなみにみなさん、私をいぢめるくらい叱咤してくれるとうれιぃです。
重複だから逝けとか言われるとちょっとさびιぃです。

26 :拘束神戸:03/12/07 23:05
自分の粗い「印象」としては、K罪学で用いられる数学は
他の分野、特に仏理あたり、からの転用が多く、
従って仏理学の持っている数学的な粗さもそのままに保存してしまっている。
たとゐ私の研究に直接資することがないにしても、
数学をある程度(知れてると言われるかもしれないが)やった人ならこのくらいは知っている
という程度の知見は持っておきたいのです。
こんな感じです。

27 :132人目の素数さん:03/12/07 23:06
違いが分からないなら、「位相数学」って書いたときは、
どういうものをイメージしてたわけ?

28 :拘束神戸:03/12/07 23:08
>>13->>20のようなお話しを浴びせかけていただけると大変幸せであります。

29 :132人目の素数さん:03/12/07 23:09
位相解析も位相数学の一種ってことにしちゃえ。

30 :132人目の素数さん:03/12/07 23:09
とりあえず、




               死                  ね                 !











31 :拘束神戸:03/12/07 23:09
>>27
某大学院の理学研究科あたりの数学やってるひとに、
「これを読むといい」
と言われて読み始めました。
だからイメージもなにも、最初から持ち合わせていないんです。

32 :拘束神戸:03/12/07 23:11
「位相」を含む言葉がいくつか出てきました。
位相空間論
位相数学
位相解析

(;´Д`)

33 :132人目の素数さん:03/12/07 23:13
>>31
へー。

じゃあ、どんぐらい数学の知識はあるんですか?
微積分が分かりません(経済のDでそんな人はいるわけないだろうけど)
なんて人が読んでも面白いわけないだろうし。

線型代数と初等的な解析と微分方程式ぐらいかな?

34 :132人目の素数さん:03/12/07 23:15
「現代思想」関係の本だと"topology" (つーか "topologie" かなw) を
闇雲に「位相数学」と訳す傾向アリ。>>1の「位相数学」もそのような用法
でないかと思われ。

経済で使われてる数学ってほとんど知らないんだが、主に線型代数ではないの?

なぜ「位相数学」をやりたかったのかを、もう少し具体的に語ってみれば?

35 :132人目の素数さん:03/12/07 23:17
>>34>>31を読まずにレスしちゃった感じ?

36 :拘束神戸:03/12/07 23:18
>>33
ちょうどそのくらいです。
積分と言えば痴漢と部分ができて、三角関数の美席というと少し縁遠い感じで、
重責文はちゃんとできなあかんでという感じです。
微分方程式もいちおうできんことはないんです。
でもその数学の院生さんにはまるでかないません。(当り前すぎですが)

37 :132人目の素数さん:03/12/07 23:18
>>25-26
じゃあ、位相云々以外にも数学に関することなら何の話をしてもいいわけでつね?

38 :132人目の素数さん:03/12/07 23:18
>>31
んで、あんたの欲するのはどれ?
とりあえず、出所くらいははっきりしてくれないとコピペ練習場になるかもしれないな

位相という単語で妄想を膨らます予定なら(w

39 :拘束神戸:03/12/07 23:19
>>34
>>31
>>31
>>31
>>31
>>31
>>31
>>31
>>31
>>31

40 :132人目の素数さん:03/12/07 23:20
つまり、コピペ練習場にしろということですか?

41 :34:03/12/07 23:21
>>1は、数学なら何でもいいってわけじゃなくて、「位相数学」ってキーワードに
一応はこだわりがあったんじゃないかと思ったんだが。どうなの?>1

42 :132人目の素数さん:03/12/07 23:21
>>39>>35を読まずにレスしちゃった感じ?

43 :132人目の素数さん:03/12/07 23:22
>理学研究科
なまえが高速神戸のくせに神戸大の学生ではないわけね。

44 :132人目の素数さん:03/12/07 23:24
さっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読め
さっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読め
さっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読め
さっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読め
さっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読めさっさと読め

45 :34:03/12/07 23:24
>>35
いや別に読んでなかったわけじゃない。
「位相数学」ってことで斎藤の本をすすめられたんじゃないかと思って。
そうじゃなくて、「何でもいいから数学」→「斎藤の本」→「位相数学」なの?

46 :拘束神戸:03/12/07 23:24
>>37
数学やってる人々のお話しをあまり関係なさ過ぎない程度に浴びせていただければ幸いです。

>>38
あの本の中で言えば、ドンピシャなのはコンパクト性の話です。

話は違うかも知れないですけど、
「K罪数学」と名のつく本で積分の定義とかしてるところ読むと、
なんかいつも納得がいかないんです。
肝心なとこに限って受動態で書いてあるし。
訳本でもないのに受動態で書いてあるところって、
だいたいぁゃιぃんですよね。

47 :132人目の素数さん:03/12/07 23:25
第1章 集合・写像・順序
第2章 自然数から実数体の定義まで
第3章 実数体R・空間Rn・複素数体C
第4章 位相空間(その1)
第5章 位相空間(その2)
付 録 公理的集合論入門

1章の終わりまで読んでどんな感じなのよ

48 :拘束神戸:03/12/07 23:28
>>41>>45
いちおう「位相数学」と言う言葉にこだわりはあります。
ただ、数学の本を読んでいていつも思うのは、
「自分は数学の世界の中のどのへんを読んでるんだろう?」ってことです。
齊藤正彦に書いてあるのは数学の土台に近いところという認識でいいのでしょうか。

49 :132人目の素数さん:03/12/07 23:30
>>47
目次だけ見てもわけわかめ杉だよ
いや、>>47が悪いわけではなくて

読了後「位相とか何とかって話がなかったわけでもないよな?」
というのが目標?

50 :拘束神戸:03/12/07 23:30
>>47
これ何に使うのかな…
というのが正直なところです。
明らかに誘導尋問ですが、正直に答えておきます。

確かに、denseがどうとかやってもK罪学的には意味ないかも知れないです。

51 :132人目の素数さん:03/12/07 23:34
>>50
>確かに、denseがどうとかやってもK罪学的には意味ないかも知れないです。
んじゃ、プロットグラフだけ描いてオナニーしていれば十分じゃん

52 :132人目の素数さん:03/12/07 23:35
>>48
>いちおう「位相数学」と言う言葉にこだわりはあります。

じゃ、「位相数学」という言葉にどういうイメージを持っているのか(いたのか)
を聞かせて。

53 :132人目の素数さん:03/12/07 23:40
>>48
>齊藤正彦に書いてあるのは数学の土台に近いところという認識でいいのでしょうか。

まあ、そういっていいと思うが、「数学の土台」というよりは「現代数学を学ぶための基礎」
って感じかな。数学科の学生がまず最初に学ばなきゃないこと。

54 :拘束神戸:03/12/07 23:45
>>51
自分で誘導しておいて…
('A`)

>>52
「一般均衡分析で使うらしい」(専門外)
あと、コンパクト性の話は私の専門にも関わるので是非やっておきたいですが、
「4,5章のみ読んでもいいんじゃない?」みたいなことは言われました。

>>53
>数学科の学生がまず最初に学ばなきゃないこと。
これを言われました。
(・∀・)カコイイ!!
と思いました。すいません。

55 :拘束神戸:03/12/07 23:50
>>52
>>54では答えになってなかったかもしれません。
すいません。

56 :132人目の素数さん:03/12/07 23:50
>>54
なるほど、折れが思ってより結構具体的みたいだね。
だが、「一般均衡分析で使う」とか「コンパクト性の話は私の専門にも関わる」
とかいうのが、すまんが具体的にどう使われるのかまったく想像できないので、
ここらへんをもうちょっと話してくれない?

57 :51:03/12/07 23:51
>>>51
>自分で誘導しておいて…
していないぞ>オナニーの神!

>('A`)
やる気ない奴は嫌いではないので、勘違いも全て許す

58 :拘束神戸:03/12/07 23:52
今やってる分野とは直接関係ないです。
ただ、この本を読むのは、自分の対応できる幅を少しでも広げようという意図からきています。
自分でも、厨っぽいですね。

59 :132人目の素数さん:03/12/07 23:54
>>58
×自分でも、厨っぽいですね。
○自分だから、厨ですね。

60 :132人目の素数さん:03/12/07 23:55
すまん誰か>>58-59を日本語に訳してくれ。

61 :132人目の素数さん:03/12/07 23:58
と、拘束神戸が質問していまつ。

62 :47:03/12/07 23:59
>>50
誘導尋問って何さー。つか、>>51は漏れじゃないぞー>>54
読んでみて「わけわからん」なんてことは無いかなーと心配して訊いてみただけですよ。
議論は理解できるけど、何に使うのか分からんってことね。
漏れも数学学んでてそういうことよくあるよ。

63 :拘束神戸:03/12/08 00:00
>>56
一般均衡分析の方はまったく知らないので割愛させていただきます。

ラグランジュアンを使うときに、K罪学では通常、
「キューン・タッカー条件」なるものを導き出します。
ごくごく当り前のものだと思うんですが、そんな名前がついています。
キューン タッカー
で検索してくだちい
で、それを使うには、生産可能性集合(要は解のpossible set)がコンパクトでないといけない。

64 :拘束神戸:03/12/08 00:01
「自分で言ってても、厨っぽいと思ってしまいます」
やっぱりつっこまれた

65 :132人目の素数さん:03/12/08 00:03
>>54
あと、折れが思ったのは、「集合」や「位相」ってのは現代数学を学ぶための「言葉」や
「文法」みたいなもので、「数学」そのものではないということ。

たとえば、フランス文学に興味を持った奴に、じゃあ「フランス語の文法書を読んだらいい」
っていうようなもんで、確かに文法は最低限必要かもしれないが、文法「だけ」勉強しても
得るものはほとんどないよね。

それと同じで、「集合・位相」だけ学んでも得るものはあまりないはずなんだが、数学の場合、
何となく「集合・位相」レベルの勉強だけして現代数学がわかったような気になってしまう奴
がいるような気がする。

それに対して、たとえば位相幾何なら「数学」といっていいと思うので勧めたわけ。
まあ、そこらへんの境界は曖昧だけどね。

66 :132人目の素数さん:03/12/08 00:03
すまん、誰か>>63を数学の言葉に翻訳してくれ。

67 :拘束神戸:03/12/08 00:05
>>62
すいません。いったい何人いるんでしょう。

どういう方向で数学の勉強やろうと思ってるか説明します。
ボトムアップとトップダウン両方でやろうと思ってます。

1.ボトムアップ
「数学やる人はこの順序でやる」にならって勉強してみるテスト
趣味に近いが気分的には真面目。

2.トップダウン
K罪学の論文読んでてハァ?と思ったらその部分だけ拾い読みする。
結局わけわからんまま終わる可能性も大きい。

齊藤正彦自体は、ボトムアップのつもりです。

68 :拘束神戸:03/12/08 00:06
>>66
∀・)

69 :拘束神戸:03/12/08 00:07
>>66
∀・)

ちなみに>>63の最後の一行がぁゃιぃ

70 :132人目の素数さん:03/12/08 00:09
>>68
刑厨ならもっと景気良くやれよ
                      ____   ____   ____
                       | (・∀・) | | (・∀・) |  | (・∀・) |
                       | ̄ ̄ ̄ ̄  | ̄ ̄ ̄ ̄   .| ̄ ̄ ̄ ̄
                     ∧        ∧         ∧
                       <⌒>       <⌒>       .<⌒>
                   /⌒\    /⌒\     /⌒\
                   ]皿皿[     ]皿皿[     ]皿皿[
                   / 田 田 \ / 田 田 \  / 田 田 \          大ジサクジエン帝國
     ____       ]∩皿皿∩[ _]∩皿皿∩[_]∩皿皿∩[、     ____ 
     | (・∀・) |  /三三三三三三三三∧_/\_∧三三三三三三 三三 ヽ | (・∀・) |
      ̄ ̄ ̄ ̄|   |__| ̄田 ̄田 / ̄ ̄Π . ∩ . Π ̄ ̄ヽ田 ̄田 ̄田 . [_| ̄ ̄ ̄ ̄_   ____
____   /三三三三三三三三三三三∧_/\_∧三三三三三三三三.三 ,,|「|,,,|「|ミ^!、   | (・∀・) |
| (・∀・) |  __| ̄田 ̄田 ̄田  ̄田. 田  | | |..田..| | |. 田 .田 ̄田 ̄ 田 ̄田 ̄田 ̄|,,|「|,,,|「|ミ^!| ̄ ̄ ̄ ̄ 
 ̄ ̄ ̄ ̄|_/==/\=ハ,  ̄ ̄|「| ̄ ̄ ̄ ̄|ハ=/\= |____ヽ「| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|_|'|「|'''|「|||:ll;|| .|
      |   ロ ロ    ロ ロ 「 ̄ ̄ ̄| |田 |「|  田 田 | 「田 ̄ ̄ ̄ | ロ ロ  |ヽ .  ̄ ̄ ̄ ̄|「|[[[[|
      |.l⌒l  ll.l⌒l. |ロ ロ,/| l⌒l.l⌒l| |    |「|  l⌒l.l⌒l |「| .|⌒l.l⌒l.|. ロ. ロ,.| ll.l⌒l..l⌒l  .||l|ミミミミミミ|

71 :拘束神戸:03/12/08 00:10
>>70
槍杉

72 :拘束神戸:03/12/08 00:11
最近やってないからごっちゃになってる悪寒がします。
嘘ついてる可能性大です。

73 :拘束神戸:03/12/08 00:13
       /___I___ヽ
  / ̄ ̄ ̄ ̄| /〔○○〕ヽ| ̄ ̄ ̄ ̄ヽ 
  |_____| ___  |_____|
  | [梅 田]| ´___`. |[特 急] .|
  | ___ .| |___ .| | ____ .|
  | |    | | ||    || | |∧ ∧ .| | 
  | |    | | ||    || | |(,゚Д゚,) | | <馬鹿野郎!! 
  | |    | | ||    || | |U┳U |.| 
  |  ̄ ̄ ̄ | | ̄ ̄´ | |  ̄ ̄ ̄ .|
  |_____ | |    | | _____|
  |  ◎○| | |6350| | |○◎  |
  | ̄ ̄ ̄  | |____| |   ̄ ̄ ̄|
  ヽ______|_,------、_|_____/
   ||│  ││| ̄区i ̄|│     ||
   ||└─┘└-━━━.┘     ||
   ヽ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄/
     ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ 




74 :拘束神戸:03/12/08 00:14
風呂はいってこよっと。

75 :132人目の素数さん:03/12/08 00:17
>>67
>ボトムアップとトップダウン両方でやろうと思ってます。

このカキコでなんとなくわかった。趣味的にでもボトムアップで勉強してみたいんだったら、
集合・位相から勉強するのもいいかもね。

つーわけで、拘束神戸さんは斎藤の本でわかんなかったとことか書いてみたら。

>すいません。いったい何人いるんでしょう。
ちなみに、折れは>>65>>56>>53、...>>13 あたり。

76 :拘束神戸:03/12/08 00:18
>>75
すんません。ちょこちょこ書き込みます。
みなさんよろしくおねがいします。

77 :132人目の素数さん:03/12/08 00:22
非線形計画法ってなんだよ!

最適化云々ってのをやってるのか?

ラグランジアンって解析力学のやつと同じですか?

変分法とか使うんですか?

数学的にはどういうような問題を扱うのですか?

78 :拘束神戸:03/12/08 00:28
>非線形計画法ってなんだよ!
それ関係ないです。

>最適化云々ってのをやってるのか?
そうです。
期待効用最大化問題です。

>ラグランジアンって解析力学のやつと同じですか?
はいそうです。

>変分法とか使うんですか?
尻ません。

('A`)

79 :拘束神戸:03/12/08 00:28
今度こそ風呂に入る

80 :132人目の素数さん:03/12/08 00:35
經濟Gacktってアールフォースの複素解析とか読んだりするの?

81 :132人目の素数さん:03/12/08 00:39
むしろ、>>80でなぜアルフォースの複素解析が湧いてきたのかに興味がある

82 :132人目の素数さん:03/12/08 00:45
経済学は実解析ばかりで複素解析はやらないようなイメージがあるんですが、間違ってます?

83 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/08 01:04
>>80に同意です。
>>82>>80への答えになります。
ただ、複素解析もやるひとがいるというのは聞いたことがあります。
何やってるひとなのかは知りませんが。

84 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/08 01:05
>>80に同意ではなく>>81に同意です。
('A`)

85 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/08 01:05
さあて今度こそ風呂に…

86 :132人目の素数さん:03/12/08 01:13
まだ入ってなかったのかよ!

87 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/08 01:34
みなさんありがとう
おやすみなさい

88 :132人目の素数さん:03/12/08 01:52
おやすみ

89 :132人目の素数さん:03/12/08 18:24
おはよう

90 :132人目の素数さん:03/12/08 20:22
>>82
複素解析は知らんが、ポントリャーギン「連続群論」読んでる香具師いたぞ。
経済で。

91 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/09 00:02
ポントリヤーギンは、
西村清彦著「経済学のための最適化理論入門」
を読んでいると出てくるので、そこからつたって読むようになったのでしょう。
その人は。

92 :132人目の素数さん:03/12/09 05:45
ポントリャーギンの最適制御理論における最大値原理って
連続群論とは大分遠いものだと思うのだが。違うのか?

93 :132人目の素数さん:03/12/09 06:16
大分遠くまでつたって行ったってことかな。

94 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/09 13:36
名前だけつたっていったと考えるには遠すぎる鴨

95 :132人目の素数さん:03/12/10 05:59
なんかネタないの?

96 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/10 13:01
>>95
数日以内になんか提示します
2,3日以内に

97 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/11 02:31
木、金と予定入ってないので読み進みます。
1章に関して質問してみましょうか。

98 :132人目の素数さん:03/12/12 01:24
うん。

99 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/12 20:22
困ったことに、明日は雑用で大学にかりだされました。
明日、雑用の傍ら本を読み進めようと思います。
明日の夜、また書き込めればと思います。

とりあえず今夜は、質問をひとつ書いてみます。
それに関して、皆さんのゴルァや解説を明日の夜見て、
こないだのようにチャット状態になればおもしろいと思います。

では…

p.25より
「切断」と「切片」について。

質問1. 切断も切片もXの部分集合であると考えてよいか?

質問2. 切片は切断のひとつの形態と捉えてよいか?

質問3. 完備化('A`)ワカンネ

100 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/12 20:37
Xってなんじゃゴルァといわれると思いますので抜粋しておきます

定義
(X,≦)を自己稠密な全順序集合で、最小元がないものとする.
これに対し,Xの部分集合αでつぎの三条件をみたすものを考える:

1) x∈α, y≦xならy∈α.
2) αは最大元をもたない.
3) α≠空集合,X.

このような部分集合をXの切断といい,切断の全体をC(X)とかく.


定義と命題
上の仮定のもとで、Xの元aに対し,S(a)={x∈X; x<a}とおく.
これをXにおけるaの切片という.
いまXには最小元がないから、S(a)はXの切断である.

a≦bとS(a)⊂S(b),S(a)≦S(b)とは同値だから、XからC(X)への入射a→S(a)によって
XをC(X)の部分集合とみなす.


こんなもんでわかるでしょうか。
本によって「順序」やらdenseの定義が違う、あるいは入れ替わっていることがあると聞いたのですが、
いちおう齊藤正彦にのっとって抜粋しました。
ひょっとして抜粋はまずかったかな?

完備化のイメージがまるでわきません。
切断と切片の違いと言うか、あんまわかってません。
好きに書いてください。
今夜はこれで失礼します。('A`)

101 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/12 20:38
乳射はinjectionです。
('A`)

102 :132人目の素数さん:03/12/14 03:24
有理数に限らないでやってるんだね。
それだと、X として実数も取れるし、説明しづらいので、
ここでは有理数(Q)の場合に限って説明。

漏れもそんな詳しくもないので、間違ってたら誰か突っ込んでね。

A = {q∈Q | q < √2}, B = {q∈Q | q < 1/2} とする。
A も B も Q での切断となってるのが分かるでしょう。
ただ、√2 は Q の元ではないので、A は Q の切片ではない。
B は S(1/2) のことで、Q の切片です。

全順序集合 X とその部分集合 E があり、
ある b∈X が存在し x∈E ⇒ x≦b となるとき、
E は上に有界と言い、このとき b を上界と呼ぶ。
んで、完備化ってのは、上に有界な全ての部分集合に、
最小の上界(上限)が存在するようにするってこと。
そうなると、いろいろと都合が良いのでそういうことをする。(←ツッコミどころだ〜)
b が上限であるってのは b が E の上界で、
b' も E の上界なら b ≦ b' となるってことね。
x < b なら、x < e < b となる e∈E が存在する
(存在しないなら x が b より小さい E の上界になる!)ってことでもある。
上下を逆にした場合も同様。

103 :132人目の素数さん:03/12/14 03:24
で、Q では上限が存在するとは限らんのです。
A がその例で、2 なんかは明かに上界だけど、最小の上界はない(Q の中には)。
というわけで、Q に上限が存在するようにしたい。完備化したい。
それで作るのが切断の集合 C(Q) です。
Q と C(Q)、q∈Q と S(q)∈C(Q) をそれぞれ対応させるのです(同じものだと思っちゃってください)。
なんですが、C(Q) には S(q) (q∈Q) 以外のものも含まれてるわけです。A とか。
んで、E に上界があるなら、E の上界の集合の(Q での)補集合は切断となりますよね。
で、その切断を S(E) = {S(q) | q∈E} の上限ってことにしちゃうわけです。

104 :132人目の素数さん:03/12/14 03:25
ごめん、全然うまくまとまらないまま書いちゃった。

まあ、なんか質問してくださいよ。

105 :132人目の素数さん:03/12/14 03:30
自己稠密ってその時点でどうやって定義してるの?

それぐらいの抜粋はまずくないと思うよ。

106 :132人目の素数さん:03/12/14 03:34
> で、その切断を S(E) = {S(q) | q∈E} の上限ってことにしちゃうわけです。

しちゃうわけですって書いたけど、そうなるわけで、
というかそうなるからああいうことをやってるわけで。

107 :補足:03/12/14 03:57
> んで、E に上界があるなら、E の上界の集合の(Q での)補集合は切断となりますよね。
> で、その切断を S(E) = {S(q) | q∈E} の上限ってことにしちゃうわけです。

E の上界の集合の(Q での)補集合
= {b∈Q | ∀q∈E q≦b} の Q での補集合 = {b∈Q | ∃q∈E b<q}
= {b∈Q | ∃q∈E b∈S(q)} = ∪[q∈E]S(q)
なので、全ての S(x) (x∈E) を含む最小の集合(つまり上限)となる。

108 :132人目の素数さん:03/12/14 03:58
ごめん、S(x) (x∈E) じゃなくて S(q) (q∈E) て書いたほうが良かった。

109 :132人目の素数さん:03/12/14 04:02
{q∈Q | q < √2} を √2 を表そうっていう。

110 :132人目の素数さん:03/12/14 04:02
ダメだ、おれ説明下手杉だ…。まとまりが無さ過ぎだ…。

111 :132人目の素数さん:03/12/14 04:05
{q∈Q | q < √2} で √2 を表そうっていう。

112 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/16 00:38
ひどく時間があいてしまいましたが。

>>102->>111
じっくり読んでます。
ウホッ

113 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/16 00:42
まず>>102の前半を読んでひとこと
わかりやすいです。涙

114 :132人目の素数さん:03/12/16 00:44
実数の話なら解析概論とかその辺覗いたほうがわかりよくね?

115 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/16 01:17
>>114
今日本屋で他の本見てたんです。
そしたら他の本の方がわかりやすいんです。
ただ余計なことがイパーイ書いてあって、軟弱・冗長な感じがしました。
齊藤正彦を読んだ後で具体例をそういう本であさると
とてもわかりやすい鴨とか思いました。

そういうことじゃなくて、解析概論の方がいいってことですか?

116 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/16 01:45
>>102
完備化メチャメチャわかりやすい(;´Д`)ハァハァ

117 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/16 01:52
途中からよくわからなくなりました。
逝ってきます…

118 :ですます口調は数学に合わない?:03/12/17 07:57
説明の下手な102です。>>116に気を良くして、懲りずにまた書きます。
分からんのなら、何が分かって何が分からんのかを書いて欲しいです。

えっと、集合の包含関係を順序とすれば
(この場合は一般には全順序とはならない: A⊂B も A⊃B も成り立たないことがある)、
集合の集合 E があって、E に属する全ての集合より大きい最小の集合(E の上限のことね)ってのは、
E に属する全ての集合の和集合になるってことは分かるよね。
というわけで、この場合は常に上限が存在する。
で、これを利用して有理数の集合から完備化された集合を作ろうってわけ。

というわけで、まず有理数の集合のそれぞれの元を集合の形で表したいわけです。
どう表すべきか? まず、そうして表したときに、有理数の性質を保存しなければいけません。
加減乗除ができ、順序も比較できなければいけない。
そして順序は上に言ったように包含関係を使う。
(q を表す集合を S(q) と書き、有理数の集合から作る集合を C(Q) と書きます。)
つまり、p < q なら S(p) ⊂ S(q) となり、S(p) + S(q) = S(p + q) などとなるようにしたい。
そこで、S(a) を {q∈Q | q < a} で表すことにするのです。
こうすれば p < q ならば S(p) ⊂ S(q) となることを確認してください。
しかし C(Q) に S(Q) (= {S(q) | q∈Q}) しか含まれてなかったら完備じゃありません。
C(Q) の任意の部分集合が上限を含まなければいけません。
というわけで C(Q) は S(Q) とその部分集合の和集合を含むということにするわけです。
で、S(p) + S(q) なんかは {a+b | a∈S(p), b∈S(q)} などと定義するのです。
p, q が有理数の場合は {a+b | a∈S(p), b∈S(q)} = S(p + q) となることを確認してください。
あと、このままだと C(Q) には Q = {q∈Q | q < +∞} = S(∞) なんかが含まれて困るので、
Q は除き、「有界な部分集合には」上限があるってことにするわけです。

119 :132人目の素数さん:03/12/17 07:58
またなんか最後のほうが端折り気味ってか、うまく書けなかった。
ほんとなんか具体的なツッコミください。

120 :118:03/12/17 08:55
> で、S(p) + S(q) なんかは {a+b | a∈S(p), b∈S(q)} などと定義するのです。

違うや、C(Q) の任意の元 α, β に対し、
α+β を {a+b | a∈α, b∈β} って定義するんでした。
S(q) (q は有理数) のときに限るわけではないです。

121 :118:03/12/17 09:06
解析概論なんかも読んでみたほうがいいかもね。
個人的には Rudin の Principles of Mathematical Analysis なんかが良いと思う。

⊂は⊆なわけで、< じゃなく ≦ と対応するんでした。

> そこで、S(a) を {q∈Q | q < a} で表すことにするのです。

a∈S(a) と p≦q ⇔ S(p)⊂S(q) を満たすには
S(a) = {q∈Q | q < a} と定義するよりないってことなるかな。
つっても、a∈S(a) を仮定する必然性がないけど。

なんか最後のほうだけでなく、全体的にアレだな…。

122 :132人目の素数さん:03/12/17 09:16
Rudin のでなくても、位相空間の言葉を使ってる解析の本がいいだろうね。
解析概論はその点でちょっとね。

123 :132人目の素数さん:03/12/17 10:54
>>121
Rudin "Principles of Mathematical Analysis" はいいね。
解析の入門書として、高木「解析概論」、杉浦「解析入門」、
小平「解析入門」のどれよりも優れてるように思う。

124 :121:03/12/17 13:25
激しく勘違い。a∈S(a)って違うじゃん…。恥ずかしー

>>123
Rudin と似たようなのでは
UTM の "Mathematical Analysis: An Introduction" Andrew Browder
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0387946144/
ってのがありますが、どうなんでしょうね。
目次を見る限り後半はこっちのほうが充実してそう。
Rudin は微分形式のとこもルベーグ積分のとこもちょっと端折り気味ですよね。
まあ、それはそれで意味がないわけではないし、
一冊になんでも詰め込めばいいってわけでもないんですが。

125 :132人目の素数さん:03/12/17 14:20
>>124
amazonで目次と最初の数ページ見てみました。結構よさげですね。
微分形式は、きちんと多様体上で定義しているようですね。
後半部の内容は松本「多様体の基礎」を薄くしたような感じかな?

126 :132人目の素数さん:03/12/17 18:25
> Browder
持ってるけど,明解さは Rudin & Spivak に劣ると思った.
(Rudin は斜め読みした程度だけど,非常にスッキリとした印象を受けた)


以下は Browder の方が良いかもしれない理由.

1. Rudin と Spivak を両方買うと,多変数関数の話が思い切り重複する
2. Spivak は英語版だと高い.Browder は Springer にしては安い.


127 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/20 02:09
火曜まで切れ目なく忙しいです
パンク寸前です
とりえず読ませていただきましたが、
数日寝かせて、それからまた考えてみます
きっと脳がデフラグしてくれるでしょう

ハァハァ

128 :102:03/12/21 13:52
漏れの下手な説明に嫌気がさして逃亡したのかと思たよ。

129 :102:03/12/23 14:17
つか、2章で有理数の完備化をやるのね…。
漏れの説明無駄じゃん…。

130 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/27 01:27
ちょっとちょっとひさしぶりですよ
忘年会から帰ってきましたよ

102さん宜しくお願いしますよ
タスクがたくさんあって大変ですががんばりますよ

131 :拘束肛門 ◆Y/3b6df0mw :03/12/27 01:28
とりあえず今夜は風呂入って寝ます

132 :拘束肛門:04/01/02 19:00
明けましておめでとうございます
28日にパソコンぶっこわれました
そして30日に正月拉致を食らいました。
先ほど帰還してノーパソから書き込みです

あけましておめ●

133 :拘束肛門:04/01/05 18:18
パソコン復旧しますた
しこしこ計算練習しながら経罪学の論文を読む毎日です
なにかネタを提供できればします

134 :132人目の素数さん:04/01/12 02:42
age

135 :132人目の素数さん:04/01/29 04:34
354

136 :132人目の素数さん:04/02/01 05:37
249

137 :132人目の素数さん:04/02/18 08:24
19-9

138 :132人目の素数さん:04/03/06 23:19
765

139 :132人目の素数さん:04/03/31 06:57
128

140 :132人目の素数さん:04/04/04 20:34
144

141 :132人目の素数さん:04/04/25 22:05
886

142 :132人目の素数さん:04/05/05 12:43
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