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ZFCからN、Z、Q、R、C

1 :132人目の素数さん:04/01/16 06:05
やってくれた人に かにかまプレゼント

2 :132人目の素数さん:04/01/16 06:33
自分でやれ。

3 :(・人ζもみもみ ◆Momi/T3ouE :04/01/16 09:02
駄スレ保守

4 :132人目の素数さん:04/01/17 02:17
見たいな。

5 :132人目の素数さん:04/01/17 02:20
宿題は自分でやりなさい>>1

6 :132人目の素数さん:04/01/17 02:24
>>5
宿題だとしたら>>1は何年生だと思うんだ?

7 :supermathmania ◆ViEu89Okng :04/01/17 08:47
ZFCをやるのはおそらく大学4年以降だろう。
0は空集合で、1={0},2={0,1},3={0,1,2},とやって、無限公理を使ってNを作る。
Zは自然数2つの順序対を使って定義できる。
Qは、Zに通常の加法と乗法を入れて、それが整域になることを示し、商体を作れば良い。
Rは有理コーシー列で作るか、Qのデデキントカットで作る。
CはR[x]/(x^2+1)によって作るか、R^2に複素数の構造を入れて作る。
詳細なドキュメントを作った人には、[>1]がかにかま千円分をプレゼントします。

8 :132人目の素数さん:04/01/17 08:53
かにかま嫌いなんだよねぇ・・・

9 :132人目の素数さん:04/01/17 11:19
何年生かどうかって話だと、教養で公理的集合論をやるところはある。
でもって、教官がネタでレポート問題に紛れ込ませた可能性もある。

10 :132人目の素数さん:04/01/17 12:09
>>9
教養じゃ無茶だろう。
>>7の方式で順次構成していくにしても
NがNたるゆえん、即ちいわばペアノの公理を「証明」
したりしなくちゃいかんし、可換環だの整域だのの公理を知ってて
完備性を知らなくちゃできん。

11 :132人目の素数さん:04/01/18 05:32
ZFCをやったのは大学3年後半(うちでは1年から専門科目が多い)
巨大基数にようやくはいったけど、もし大学院入ってからZFCを
はじめたら、厳しかったかもしれん。
ちなみに、今は理論経済屋です。

12 :132人目の素数さん:04/01/19 18:36
宿題じゃないよ、個人的な探求だよ。
これ出来るとかなりパワーアップできるような気がする。
だって「数」っていうカテゴリが丸ごと「集合」に飲み込まれちゃうんだから びっくり、
>>7みた感じだとまだ乗り越えなきゃいけない壁がいくつかありそう・・・

13 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/01/19 19:13
Re:>>12
R→C,N→Zはあまり難しくない。
おそらく一番難しいのはQ→Rだろうと思う。
ここではZFC→Nをやろうと思う。
空集合公理により、空集合が存在する。また、外延性公理より、空集合の一意性もいえる。
空集合を0で表すことにする。(大抵は空集合記号で表すが、ここでは数字の零で表す。)
冪集合公理によると、{0}も集合となる。1={0}と表す。
冪集合公理より{1}も集合となる。和集合公理より∪{1,{1}}も集合になる。これを2と表す。
冪集合公理より{2}も集合であり、和集合公理によって、∪{2,{2}}も集合である。これを3と表す。
同様に、4=∪{3,{3}},5=∪{4,{4}},6=∪{5,{5}}等も定義でき、同様の方法でnが定義されたとき、nの後者を∪{n,{n}}で定義できる。
無限公理によって、0,1,2,3,4,…を全て要素にもつ集合の存在が保証される。
しかし、これだけでは余分な元を含む可能性が出る。
そこで分出公理を使って、0または∪{n,{n}}を何回か繰り返すことによって得られる集合だけを要素に持つ集合を作る。これが、自然数の集合Nである。Nの元を自然数と呼ぶことにする。
後のために、Nの上に加法と乗法も定義しておく。
Nの上の乗法は、Nの元x,yに対して、x*yを、xとyの直積と一対一対応がとれる自然数のこととして定義する。
Nの上の加法は、Nの元x,yに対して、x+yを、xとyの「直和」と一対一対応がとれる自然数のこととして定義する。
(2つの集合x,yの直和は、xの各元uを{{{2}},u}に置き換えて、yの各元vを{{{3}},v}に置き換えて、それらの和集合をとればよい。直和の定義は、この方法にこだわることはない。)
これで、Nの上に加法と乗法が定義された。

14 :132人目の素数さん:04/01/19 20:39
>>13
つっこみどころ満載。
レポート(100 点満点)だったら 大甘で 10 点、ちょっと辛めで -50 点。
セミナーでの発表だったら もう一度のチャンスを与えてあげようかどうか迷う。

15 :132人目の素数さん:04/01/19 20:39
>ZFCから・・・

Fは要らないだろ。

16 :132人目の素数さん:04/01/19 22:54
Q→Rって極大イデアルで割るだけでできるじゃん

17 :13以外のバカ:04/01/20 12:48
>>14
例えばどのへんにツッコミどころがあるの?
漏れには分からんのですが。

18 :132人目の素数さん:04/01/20 20:22
>>14ではないけどとりあえず気になったとこを書いてみる

>冪集合公理より{1}も集合となる
ここはどうやってるのかわからない。

>和集合公理より∪{1,{1}}も集合になる
{1,{1}}が集合になることにも言及すべきでは。

あと、以下の三箇所は自明ではないと思う。
>無限公理によって、0,1,2,3,4,…を全て要素にもつ集合の存在が保証される。

>そこで分出公理を使って、0または∪{n,{n}}を何回か繰り返すことによって得られる集合だけを要素に持つ集合を作る。

>x*yを、xとyの直積と一対一対応がとれる自然数のこととして定義する
>x+yを、xとyの「直和」と一対一対応がとれる自然数のこととして定義する

19 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/01/21 07:24
Re:>>14 それでは[>>1]の課題を2000字以内でやってほしい。
Re:>>15 Cも要らないが、[>>1]がZFCと云っている。
Re:>>16 どの代数系の極大イデアルなのか、それを明確にしてほしい。
Re:>>18 a,bが集合のとき、対公理より{a,b}も集合になる。{1}が集合であることは、分出公理もいるか。その他はノーコメント。

20 :132人目の素数さん:04/01/21 08:13
>Cも要らないが

そうだったな。

>[>>1]がZFCと云っている。

1の無知に付き合うことはない。

21 :16:04/01/21 13:28
>>19
有理Cauchy列のなす環。
0に収束する列全体が極大イデアル。

22 :17:04/01/21 15:17
とりあえず、自分がバカなのは再確認できた。

23 :132人目の素数さん:04/01/22 00:23
>>19
{1}={1,1}だから分出公理はいらないと思うが

24 :18=23:04/01/22 00:29
つまり1が集合で{1,1}={1}だから{1}も集合。
これですむから冪集合公理をどこで使ったかが分からないと書いた。

でも考えてみれば
{1}={x∈P(1)|x=1}
と書けば冪集合公理が使えるから間違いではないか。

25 :132人目の素数さん:04/01/22 11:26
>>20
>1の無知に付き合うことはない。

だったらはなからスレッドに書き込むなよ。

26 :132人目の素数さん:04/01/22 13:36
>>25
激しくどう居。

27 :132人目の素数さん:04/01/24 21:44
これ以降、スレのテーマを、Zermeloの公理系からN、Z、Q、R、Cに変更します。

ここで、議論をできる限り形式的なものにするために、
Zermeloを以下の形にとりあえず限定します。

∀x(x∈a≡x∈b)→a=b.
∃x∀y(y∈x≡y=a∨y=b).
∃x∀y(y∈x≡∃z∈a(y∈z)).
∃x∀y(y∈x≡∀z∈y(z∈a)).
∀x(¬x∈0).
∃x(0∈x∧∀y∈x(y’∈x)).
∃x∀y(y∈x≡y∈a∧A(y)).
∃xA(x)→∃x(A(x)∧∀y∈x(¬A(x))).

公理の名前を上から、外延性公理、対の公理、和集合公理、冪集合公理、空集合公理、
無限公理、分出公理、正則性公理とする。

ただし
a=bは∀x(x∈a≡x∈b)の略
A≡Bは(A→B)∧(B→A)の略
a’はa∪{a、a}を表す
a∪bは∪{a、b}を表す
{a、b}は対の公理で存在を主張されている、aとbだけを元に持つ集合を表す。

28 :132人目の素数さん:04/01/24 21:46
最初の言語は、(たぶん)
論理記号:¬、∨、∧、→、∀、∃
自由変数:a、b、c、・・・
束縛変数:x、y、z、・・・
特定の集合:0、
関数記号:
述語記号:∈、

で、

>>13によって
特定の集合:N、1、2、3、4、5、6、・・・
関数記号:*、+
などが導入された。(のかな?

このスレの目標はこの言語を拡張して、過程はともかく最終的に、(N)、Z、Q、R、Cを導入すること。(で、いいのか・・・

29 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/01/25 06:51
Re:>>28 順序の導入もしよう。

30 :132人目の素数さん:04/01/25 07:05
45

31 :132人目の素数さん :04/01/25 15:25
KingMathematicianキモイ。


32 :132人目の素数さん:04/01/25 17:14
Kingがキモイかは置いとくとして、順序は導入しないとRが作れないだろう。

33 :132人目の素数さん:04/01/25 19:38
ところで、本当に置換公理図式抜きで実数体が作れるの?

34 :132人目の素数さん:04/01/25 22:55
>>27-28
関数記号に'が抜けてるよ

35 :18とか:04/01/25 23:44
>>13ではすっきりしないので勝手に補足

>0または∪{n,{n}}を何回か繰り返すことによって得られる集合だけを要素に持つ集合を作る
とりあえずここから。無限公理により
(*) 0∈U∧∀y∈U(y’∈U)
を満たす集合Uが存在するので、冪集合公理と分出公理により
V={ u∈P(U)| uは(*)を満たす}
も集合である。Vの共通部分
∩V:={ x∈U| ∀u∈V(x∈u)}
をNと定義する。

0でもy'の形でもないxがNに入っていたとすると、
N~:={ y∈N| ¬x∈y ∧ x≠y}
はNより真に小さく、0∈N~である。
Nの作り方からNの真部分集合は(*)を満たさないので、
∃y∈N~(¬y'∈N~) i.e. ∃y∈N~(x∈y' ∨ x=y' )
が成立しなければならない。そこでこのようなyをとる。
xはy'の形でないと仮定したから、x∈y'でなければならない。
y'={y,{y}}であったから、このことは
x∈y ∨ x=y
を意味する。ところがこれは¬y∈N~を意味する。これは矛盾である。よって
∀y∈N(y=0 ∨ ∃x∈N(y=x'))
であることが示された。

これで大丈夫かな?後半意外に面倒だった。

36 :132人目の素数さん:04/01/26 02:59
じゃあNの定義は>>35
Nの加法乗法は>>13

で、Nの関係≦を a≦b≡a∈b と定義し、順序と呼ぶ。そのいろいろな性質は>>40

37 :132人目の素数さん:04/01/26 03:01
あ、やばい、a≦b≡(a∈b∨a=b) に訂正。

38 :132人目の素数さん:04/01/26 03:02
27書いた本人ですが、実は言語の拡張とかがよくわかってないんですが、
定義文と公理って言うのはどう違うんですかね?
竹内外史の本読んでたら、
「0が言語に入っているので、∀x(¬x∈0)が公理になる」って書いてあるんですが、
普通の本では空集合公理は「∃x∀y(¬y∈x)」として、これを満たす集合を0(もしくはφ)とする
っていう風にやりますよね。この2つの違いは・・・

39 :18とか:04/01/26 12:09
>>13の演算のwell-definednessはよいのでしょうか。
原始帰納を定義すればもっと簡単にできるような気もするが・・・

あと>>27
>∃xA(x)→∃x(A(x)∧∀y∈x(¬A(x))).
ここって最後のところ¬A(y)でない?

40 :14:04/01/26 21:45
>>39
> >>13の演算のwell-definednessはよいのでしょうか。
>>13 ではそのあたりを真面目に考えているとは思えない。
濃度の和と積ならばあの定義でよいのだけどね。

正則性公理は、無限公理があの形ならばいらない。

41 :supermathmania ◆ViEu89Okng :04/01/28 13:00
Zの作り方:
簡単にいうと、
2=(2,0)=(3,1)=…
1=(1,0)=(2,1)=…
0=(0,0)=(1,1)=…
-1=(0,1)=(1,2)=…
-2=(0,2)=(1,3)=…
のような感じで構成する。

42 :132人目の素数さん:04/01/28 15:48
('A`)馬鹿が来ちゃった・・・

43 :132人目の素数さん:04/01/28 21:37
本当に知ってるなら煽るだけでなく少しはちゃんと教えて欲しい

44 :18とか:04/01/29 00:38
とりあえず原始帰納でも定義しようかと思ったが、
やり始めたらいろいろ準備が必要なことが分かったので写像の定義。

集合AとBの直積とは、
{p∈P(A∪B)| ∃a∈A ∃b∈B (p={ {a}, {a,b} }) }.
{ {a}, {a,b} }を(a,b)と書く。

fが集合AからBへの写像であるとは、fが
f⊂A×B
∀a∈A ( ∃!b∈B ( (a,b)∈f))
を満たすこと。

>>38
「空集合公理により存在を保証されている集合を0と書く」というのは、
定数記号0と公理∀x(¬x∈0)を追加したと考えられるんでは。

45 :18とか:04/01/29 00:39
念のため補足。
∃!x P(x) は、∃x(P(x)∧∀y(P(y)→x=y))の略記。

46 :132人目の素数さん:04/01/29 10:03
>>42
君がくるとスレッドがかれるから、もうこなくて良いよ。
っていうか、もうインターネット上に君の居場所はないんだよ。

47 :14:04/01/29 17:43
自然数の構成は、Dedekind による次の定理に基づいている。

集合 U と全射ではない単射 f: U -> U が与えられれば、
N⊂U, 0∈U, を適切に定義することで、(N,0,f|N) が
ペアノの公理を満たすようにできる。

公理的集合論で、Dedekind の証明の通りに N を構成すると、>>35 の構成になるが、
その前に写像 a'=a∪{a} が全射でない単射であることを示さねばならない。

a∈a' なので 0≠a' であることより全射でないことがわかる。
単射であることは、正則性公理の下では容易。
正則性公理がない場合は、' が単射でない可能性があるので工夫が必要。
この場合、0 が well-founded set であることと、well-founded set 全体が ' で
閉じていることより U として well-founded set が取れる。
well-founded set 上で ' は単射なので、U でも単射になっている。

48 :14:04/01/30 13:11
>>35 の後半の普通の証明。

U={y∈N | y=0 ∨∃x∈N(y=x')} とおく、
U は (*) の条件を満たすので N⊂U. (数学的帰納法)
すなわち、∀y∈N(y=0 ∨∃x∈N(y=x')).

' が具体的にどのように定義されているのかは、もう考えなくてよい。

49 :18とか:04/01/31 00:00
なるほど、そうやれば簡単だったのか。
数学的帰納法がほとんど自明であるということにすら気付いてなかった。

50 :132人目の素数さん:04/01/31 05:57
>>46
俺が誰か知っての発言か?

51 :132人目の素数さん:04/01/31 18:42
名無し

52 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/02/03 00:15
で、[>>50]は誰なんだ?
それと[>>50]に[>>1]の問題をやってもらうことにしよう。

53 :132人目の素数さん:04/02/03 19:58
>>52
かにかまくれるのか?

54 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/02/03 23:35
Re:>>53 [>>1]がそう云っているから[>>1]がかにかまくれるのは間違いない。

Rから四元数体というのも付け加えてみよう。(これは代数の話になるか?)
ちなみにQを含む可換体では、Cが最大らしい。(一体どうやってそれを証明するのか?)

55 :132人目の素数さん:04/02/03 23:54
>>54
C(X) は?

56 :132人目の素数さん:04/02/09 06:08
1です。
長考中のところ申し訳ありませんが、
そろそろ時間が迫ってまいりましたので、
残念ながら、今回のかにかま当選者は ナ シ !

これ以降は数体系雑談スレとしてお楽しみください

57 :132人目の素数さん:04/02/09 06:17
いやだいやだいやだかにかまないとやだやだやだかにかまーかにかまー
てめーぶっころすぞいちこのやろうかにかまくれるっていったじゃないか
じかんてなんのじかんだよてめーふざけんじゃねーぞぶっころすぞ
かにかまをくれないとだめぜったいだめおまえだめだめかにかまよこせー
かーにーかーまーかーにーかーまーぜったいかにかまぜったいかにかま

58 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/02/09 13:18
Re:>>56
ちょっと待て、[>>7]を読んでないのか?

59 :132人目の素数さん:04/02/09 13:19
以下かにかまについて語るスレッドとなるますた。

60 :132人目の素数さん:04/02/09 15:40
ビーフジャーキーだったらやる気がでるのにな。

61 :132人目の素数さん:04/02/11 00:31
そして後には糞スレが残った、か。
H.B.Enderton"Elements of Set Theory"に多分全部載ってると
思うのだが。読んだことないので確証はないが。

62 :132人目の素数さん:04/02/18 05:05
チョップ

63 :132人目の素数さん:04/03/04 03:05
このスレが流行らない時点で数学板はB級

64 :132人目の素数さん:04/03/04 18:04
>>63
このスレがはやらない時点で数学板はB級って思ってるやつが住人にいる時点で数学板はC級とかいわれるかもよ

65 :132人目の素数さん:04/03/04 20:25
>>63
なんか話したい事でもあるんかゴルァ

66 :132人目の素数さん:04/03/07 13:45
184

67 :132人目の素数さん:04/03/19 19:01
このスレがはやらない時点で数学板はB級
って思ってるやつが住人にいる時点で数学板はC級とかいわれるかもよ
って思ってるやつが住人にいる時点で数学板はD級とかいわれるかもよ

68 :132人目の素数さん:04/03/20 05:53
>>67
C^ω級

69 :67:04/03/20 23:02
>>68
滑らか!

70 :132人目の素数さん:04/03/20 23:42
素朴な疑問です。自然数の公理系はペアノのそれでいいでしょうし、実数のは有理数体の公理に上限の付けりゃあいいでしょうが、
その有理数体の公理って何でしょ?最小の順序体って形でいいんでしょうか?あと整数は?
最小の順序整域ってかんじ?有限小数なんかも、同様なのは作れるんでしょうか?あと、実
数体を前提としない、複素数体の公理系は?

っていうのは、なんか数を作ろうって本をみると、満たして欲しい公理系も書かずに
ただモデルを作ってるのが多い気がしたんで。公理系があって、初めてそのためのモデルを
作ろうって話になるべきじゃないかと。どうなんでしょう?

71 :132人目の素数さん:04/03/21 01:05
仰るとおりだけど、ちょっと順番が違うんじゃない?
飽くまでNが最初にあってそれからZ、Qと創っていく、
という道筋が普通で、創ったものからある抽象的な性質を
抜き出して、定義をたてると、たまたまそれが最小の〜
になっている、というだけだと思うんだけど。

あと、ペアノの公理系で証明できない真な命題はいくらでも
あるし(無限個)ペアノの公理系をみたす非可算なモデルだって
あるんだが。ペアノの公理系が満たされたってそこまで安心
できるわけではない。

72 :132人目の素数さん:04/03/21 01:09
実数も同じだね。基礎となる集合論が完全ではないから。
余り厳密に言うといくらでもぼろが出てくる。
ただ、実閉体、代数閉体でいいなら公理を完全に述べることが
出来るらしいし、それを実数、複素数の理論は完全である、
なんて言ったりもするけど、それはあくまで指数函数の構造も
入らない、ただの実数や複素数っぽい構造な訳で。

73 :132人目の素数さん:04/03/21 01:48
>>71
感覚的には同意できるが、公理的立場からいけば、やはりおかしいでしょう。
整数環は自然数が無くても公理的に定義できなければならないわけで。たまたま
埋め込めるからと言って、自然数を前提にしなければ整数環が定義できないのは
おかしいと思う。

74 :132人目の素数さん:04/03/21 02:14
確かに漏れも気持ちの悪い感じはするんだけどね。
議論の前提がはっきりしないから、色々と不便なことが起きる。
でも例えば集合論の中に埋め込まないで実数を定義するのは
難しいような気がするんだけど……
二階算術にあまり詳しくないから確かなことは言えないけど……

75 :132人目の素数さん:04/03/22 14:54
>>73
自然数全体 N は有理整数環 Z や有理数体 Q の中で first
order definable なので、Z や Q を定義しようとすれば、
実質的に数学的帰納法が必要になります。

76 :132人目の素数さん:04/03/23 13:19
>>73
かくかくしかじかの性質を満たすものを整数環というと定義しても良いわけだが、
それが集合論の中に存在するかどうかが問題となる。
感覚的には明らかだが、実際に存在を示すなら自然数から作る。
それ以外の方法があるかどうかは知らない。

ちなみに、カテゴリーを知っている人に言うと、(Z,+)は
アーベル群のカテゴリーの始対象になるということが本質的。

77 :132人目の素数さん:04/03/23 14:21
>>それが集合論の中に存在するかどうかが問題

そうか?(数学⊂集合論)でない以上極端だと思うが?
まあナンセンスでない理論なら集合論の中にモデルは
存在するんだろうけど。それに、
(ZFCが無矛盾⇒自然数論が無矛盾)の証明にどれほどの
価値があるんだ?ZFCが自然数論より強い理論である、という
ごく当たり前のことを示しているだけじゃないの?
ZFCの無矛盾性の証明なんてできっこないんだし。

78 :132人目の素数さん:04/03/23 23:44
>>76
> (Z,+)はアーベル群のカテゴリーの始対象になる
ちょっと恥づかしい間違いかと。

79 :76:04/03/24 13:58
>>78
間違えた。環のカテゴリーの始対象だ。
正しくは、「アーベル群のカテゴリーにおけるテンソル積の単位元になることが本質的」

80 :132人目の素数さん:04/04/04 18:09
282

81 :132人目の素数さん:04/04/13 20:27
>>77
ZFCは無矛盾

82 :132人目の素数さん:04/04/15 19:44
>>77
はアホ
知ったかぶる前に勉強しろ

83 :132人目の素数さん:04/04/26 02:31
638

84 :132人目の素数さん:04/04/29 04:14
保守

85 :132人目の素数さん:04/04/30 13:09
>>82
勉強したら知ったかぶりじゃなくなる罠。

86 :132人目の素数さん:04/04/30 14:33
たとえば、πを集合の記号( φ、{}、,のみ)で表現したらどうなるんですか?

87 :132人目の素数さん:04/05/03 12:18
論理記号は使わないと無理かと思われ・・・
自然数はΦ、{Φ}、・・・
整数はN×N/〜
有理数はZ×Z/〜
実数はQの基本列の類
だから、各段階で無限個の元を含んでいると思われるので、・・・
このうちQの基本列で普通πといわれてるものに収束
するものを表現すればそれがπの集合的な表現になるのかな・・・
でも解析の本見るとπは積分で定義されてるから・・・
(ほんとに出来んのかコレ!とか言いたくなる・・・
(ていうかそんなのどの本でも見たことないゾ、オイと言いたい・・・

88 :132人目の素数さん:04/05/04 19:45
P(N×Q)の中にπに収束するものが、たくさん、、、さあ掘り出そう

89 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/05/05 08:23
Re:>>87
4-4/3+4/5-4/7+…というのがある。
全てのリーマン積分を定義するのなら、
実数の完備性(上に有界の集合は、上限が存在する。)を利用するといいだろう。

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