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病的な関数

1 :132人目の素数さん:04/01/23 16:55
について語ろう。
たとえば閉区間上で定義されている有界だけどルベーグ積分不可能な関数とか。

2 :132人目の素数さん:04/01/23 16:59
あとはxが無理数の時は微分可能だけどxが有理数の時は微分不可能(もしくは不連続)な関数とか。
どっちかは数学板では見つかってないらしいけど。

3 :132人目の素数さん:04/01/23 17:00
またこのスレですか

4 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/01/23 17:01
Re:>>1
構成的に定義できる関数ではそういう関数は無いそうだ。

5 :132人目の素数さん:04/01/23 17:36
ディリクレ関数は俺にとっては病的

6 :132人目の素数さん:04/01/26 22:09
無理数の時0、有理数の時1の関数ってディリクレ関数って言うのか。
5へぇくらい感心。

7 :132人目の素数さん:04/02/01 05:06
140

8 :132人目の素数さん:04/02/01 23:42
>>6
リミット記号とか使った式もあるよ。一応。

9 :132人目の素数さん:04/02/02 17:54
>>8
階乗やcosとか出てきて・・・
理解不能

10 :132人目の素数さん:04/02/02 18:08
素数を正確に表す関数で計算が普通に思考するよりとてつもなく面倒って関数もある。
整数次元を逸脱した次元の図形もあるし、いつだって、それじゃこうしたら、ああしたら
って思考するから、奇妙奇天烈君はたくさんあるよ。
有利数で連続、無理数で不連続はないだろう、多分。
無理数や超越数は結局非加算だから、そこを思ってやらないと、ないものねだりになる。
代数的数ってのは実はまだよく理解されてるわけじゃあない。
境界をはっきり認識してるわけじゃあない。
わかってるなら、ある数がそうかそうでないかなんてすぐわかるはずだからね。

11 :132人目の素数さん:04/02/02 18:28
最後の一行がダウト?

12 :132人目の素数さん:04/02/02 23:42
Dirac's delta function...

13 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/02/03 00:03
Re:>>12 Dirac's delta functionは関数ではない。測度だ。
蛇足ながら、測度という用語の解説をしよう。
最初はボレル集合に対して測度を定義するが、
測度にはもう一つある。
∫f(x)μ(dx)は、測度論の意味での測度μから導かれた線型汎関数である。
但し、fはコンパクト台をもつ連続関数など、適当な条件を課すものとする。
μ(f)=∫f(x)μ(dx)を、測度という。
ちなみに、測度は超関数の一種である。

14 :12:04/02/03 01:52
>>13

御丁寧な解説をいただきありがとうございましたが、実はさっぱりわかりませんでした。
素人が首を突っ込んで申し訳ありませんでした。以後静観しておりますので、今回ばかりはお目こぼしいただけますよう。



15 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/02/03 15:43
Re:>>1 大変基本的なことに気が付いたのだが、(-∞,∞)も閉区間だ。

16 :132人目の素数さん:04/02/07 17:27
>>8-9
lim[m→∞] { lim[n→∞] cos(m!πx)^n } (m, n∈N)
がディリクレ関数になるんだねぇ。
これ、初めて見たときかなりびっくりした。確かめてみればすぐわかるんだが。
無理数のとき0、有理数のとき1なんて変な関数が
初等関数を2回極限取っただけで得られるなんてにわかに信じがたい。

17 :132人目の素数さん:04/02/08 19:24
>>16
そういうのがルベーグ積分導入の動機になるんだろうな。

…ところでm!って初等関数だっけ?


18 :132人目の素数さん:04/02/09 00:42
>>17
変数はxですよ。

19 :132人目の素数さん:04/02/09 00:57
f(x)=0(xが無理数)
f(x)=q(xが有理数p/q, pとq>0は互いに素)


20 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/02/09 13:45
Re:>>17
m!自身は初等関数だが、階乗を与える関数は初等関数ではないことが知られている。

21 :132人目の素数さん:04/02/09 14:11
>>20
Γ関数のこと?

22 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/02/09 20:49
Re:>>21 正確には、x→Γ(x+1)

23 :132人目の素数さん:04/03/06 19:32
706

24 :132人目の素数さん:04/03/19 22:43
619

25 :132人目の素数さん:04/03/20 00:35
「病的」の定義は何だ

26 :132人目の素数さん:04/03/20 01:58
>>25
「俺がコイツは病的だなぁと思う関数」という定義ではどうだ?

27 :132人目の素数さん:04/03/20 03:34
フラクタルは発見された当初は「病的」といわれた。マンデルブロー以後、むしろ
自然だという考えが広まった。

ディリクレ関数は病的に見えるが、ルベーグ積分論では可算集合の定義関数という、
「単関数」の中でももっとも簡単な部類ということになる。

具体的な超越数の例をみつけるのは最初は大変で、リュービルが人工的な小数でなんとか
作った。その後πやeも超越数であることがわかった。さらに集合論により、超越数はそう
でない数(有理数および代数的無理数)よりはるかに多い(濃度が大きい)ことがわかった。

いたるところ微分不可能な連続関数は、ワイヤストラスや高木が苦労して例を作った。
しかし、そのような関数は、そうでない関数よりはるかに多い(濃度が大きい)ばかり
か、ある意味ほとんどすべての連続関数はいたるところ微分不可能であることがわかっ
た。さてどちらが「普通」か? ちなみに自然な連続確率過程の軌跡はほとんど確実に
いたるところ微分不可能である。

10年ちょっと前までは、パソコンで通信などしているのはパソコンオタクだけだった。
しかし今は、していないほうが珍しい時代になってしまった。

昔はロリコンとかSMはアンダーグラウンドの病的趣味だった。しかし今は… (w


28 :132人目の素数さん:04/03/24 14:32
オチにワラタ

29 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/03/24 16:13
汎関数の測度の方は、「ラドン測度」と云うのだそうだ。

30 :132人目の素数さん:04/04/04 17:34
242

31 :132人目の素数さん:04/04/25 21:04
114

32 :132人目の素数さん:04/05/05 10:10
463

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