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【高校】何で「複素数平面」がなくなるのだ!?

1 :三流国立大学生:04/01/25 12:57
俺が高校時代、必死に勉強した「複素数平面」が高校の教科書からなくなる。
「複素数平面」は最初は何をやってるか、よくわからない。だが一旦わかり始めるとすごく面白い!
特に図形を描いてイメージを浮かべて解く問題。その「複素数平面」がなくなるのが悲しい・・・・・。

2 :132人目の素数さん:04/01/25 13:00
わざわざスレ立てて語る話題でもあるまい

3 :132人目の素数さん:04/01/25 13:00
2get?

4 :132人目の素数さん:04/01/25 13:00
はずした。

5 :132人目の素数さん:04/01/25 13:07
僕らの頃は複素数平面なかったけど、今はあるの?
留数とかやるの?

6 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/01/25 15:26
Re:>>5 釣り?
留数をやるには、ローラン級数か、線積分の、少なくとも一方をやらないといけない。
高校でやるのは難しいと思う。

7 :132人目の素数さん:04/01/25 16:50
今日は糞スレDayですね

8 :132人目の素数さん:04/01/25 18:25
昨日・一昨日の方が凄いべ。

9 :ケンブリッジ:04/01/25 18:27
数学の橋

10 :132人目の素数さん:04/01/26 07:53
ていうか、歴史的にも、ガウスが複素平面を考えることで、
複素数(とその演算)が幾何学的対応物を得ることになり、
複素数というものの存在が認められるようになった。
それまでは、一流の数学者でも、
「虚数はインチキ」みたいなことを言ったりしてたわけで、
高校生なんか、これ無しで複素数だけ教えても、
余計にわけわからんと思うのじゃなかろうか。
まあ、形式的な計算なんかするのには影響は無いのだろうけど、
腑に落ちないって思う人が増えそう。
もちろん1の言うように、魅力も失われていくわけだし。

11 :福田和也 ◆P.o66TRa1E :04/01/26 19:51
留数解析・フーリエ変換やっている今でも
複素数の意味がよくわかりませんが、何か?

12 :132人目の素数さん:04/01/26 20:59
俺らの世代でも、大蔵省の天才がローラン展開とかしてたけどね

13 :Scarlet:04/01/26 21:03
 今、高2で複素数平面を学校でやってますけど、まぢ面白いです。
おまけに、週2回の数Bの授業中だけで理解出来ちゃってます。
こんな面白いものがなくなっちゃうなんて、数学の面白さをわからなくするようなものだと思います。

14 :132人目の素数さん:04/01/26 21:07
誰に合わせるかって事なんかな?
理解の早い奴にはどんどん先いかせるのが、双方にプラスではある。
まあ、自分でどんどん先に行くのが1番望ましい。
でも、あれだよな、仲間とか先輩とかいた方がいいな、数学の、、、。

15 :132人目の素数さん:04/01/26 21:36
>>14
複素平面に限って言えば,高校課程から削除されてしまうと
確実に登場するのは複素函数論(標準で大学2年次後半位?)だから
多少先に進んだところで中々お目に掛かれない罠
⇒新課程履修者が大学に進学して3年も経つ頃には,複素平面を知っている大学新入生は
数オリ級の香具師とその周辺だけになりかねない悪寒…((;゚Д゚)ガクガクブルブル

16 :132人目の素数さん:04/01/26 21:55
線形代数である程度触れるんじゃないの。

17 :132人目の素数さん:04/01/26 22:25
>>5 も書いてるが、俺らの頃も高校で複素平面はやらな
かった(ちなみに俺は1965年生まれ)。
なんで大学入ってから勉強したわけだが、特に困ったという記憶はない。
親切な教官だと(線型代数か微積の)授業で説明してくれたしね。

理工系の学部行くなら、複素平面くらい自分で勉強できなきゃだめだよ
と言ってみるテスト

18 :132人目の素数さん:04/01/26 22:31
>>17

数T、UB、Vの時代(最後ぐらい?)の人ですね。
自分も同世代だが、大学に入ってから高校生の家庭教師をやった時、
複素平面と二次曲線があったので慌てたのを憶えている。

19 :132人目の素数さん:04/01/26 22:36
>>1 マジレスすると、1次変換が復活したから 


20 :132人目の素数さん:04/01/26 22:44
>>5,17,18
たぶんスレタイの答えはそれだよね。
つまり以前にも複素平面をやらなかった時期があったから、
リスクを避けたい上の者の判断としては
当然、やらなくても特に問題が無いと
わかっている分野を省きたくなるわけで。
まあ推測ですけどね。。

21 :18:04/01/26 22:46
訂正

数学I・基礎解析・代数幾何・微分積分・確率統計
の時代はまだ複素平面は無かったような気がする。

22 :工棒:04/01/26 22:52
複素平面って出題方法がワンパターンじゃん?
はっきりいって、イラネ

23 :132人目の素数さん:04/01/27 12:49
>>19
そうなんだ。
一次変換とベクトルがあったらそれとは別に複素数やらんでもOK
みたいな考え方もあるのかな。


24 :132人目の素数さん:04/01/28 06:48
複素数平面の問題で
平面ベクトルを使えば解ける問題もあるよね。

25 :132人目の素数さん:04/01/28 06:52

一次変換ってどういう分野なんすか?
俺が高校のときは習ってないからわかんないや
ネタじゃないっすよ

26 :132人目の素数さん:04/01/28 07:16
そして、大学の教授は侵入性は一次変換がわかってると思って授業するからイタイのじゃ

27 :132人目の素数さん:04/01/28 07:56
1次変換は復活するの?

28 :132人目の素数さん:04/01/28 16:03
>>11
お前は馬鹿だからしょうがない。

29 :132人目の素数さん:04/01/28 17:23
平面ベクトルも座標平面も複素数平面も土台は同じだから、それぞれの
対応物を使えば困りはしないだろう。どれで考えるのが便利かという話は
別だけれどね。

30 :132人目の素数さん:04/01/29 09:37
10年毎の「新課程」で高校数学から出たり引っ込んだりする分野がありますね。
微分方程式はどうなってんの?

31 :132人目の素数さん:04/01/29 17:04
文系は回転を学ばなくなる。
大学入試はかなり楽になる。

32 :カルロヴィッツ:04/01/30 02:03
高校数学で教えてほしいもの
・線型代数関係・・・2次形式(含 エルミート形式)
          固有値や行列式は当たり前すぎてノーコメント
・解析関係・・・これは多い
 偏微分(ラグランジェの未定係数法含む)・全微分・微分幾何の初歩
 多重積分・変格積分・線積分・面積分・体積積分・ガンマ関数
 ベクトルの外積(物理でこの概念抜きにモーメント学習させるのは乱暴)
 双曲線関数・オイラーの定理→これをやるからには複素関数の初歩も必要
 差分・和分・差分方程式→漸化式の名称で取り扱っているが、より一層
            微分方程式とのアナロジーを強調する
 微分幾何や複素関数の初歩をやるので、自動的に複素平面やベクトル解析は
学ぶことになる。
・統計関係・・・積率母関数

思うのだが、高校段階は形式的な計算技能の習得に徹してもいいのでは?
100マス計算ではないが。
確かに「何のためにこんな計算するの」と疑問に思われた時答えに困るが、
かといって数学的な高尚な話を切り出されても、ますます高校生には理解
しがたいし。
 

33 :132人目の素数さん:04/01/30 02:10
>>32
そういや高校で物理を教えるのに積分とか使っちゃダメなんだよね。
どこの莫迦が言い出したんか知らんけど。
計算技能の取得に徹するとしたら
理科で数学バリバリ使うのも正当化されるし、けっこう良いかも。


34 :132人目の素数さん:04/01/30 03:01
旧旧過程から旧課程で下記がなくなった。

旧数学T〜整式の最大公約数・最小公倍数、集合と演算
旧代数幾何〜空間座標の一部(直線、平面の方程式、ヘッセの標準形)、一次変換(全範囲)
旧微分積分〜微分方程式(全範囲)

で、これが増えたと。

複素数平面
平面幾何



35 :177:04/01/30 03:04
文系でも経済学部でミクロ経済原論学ぶとき制約付最小最大問題なんかザラだから、
偏微分やラグランジェの未定係数法知らないと全く困る。まして今や金融工学の時代だし。

ネットだってマニュアルの無味乾燥ぶりは甚だしいけど、高校生みんなケータイ使いこなしている。
数学の専門家からは批判されそうだけど、大学で学ぶ内容を考えたら、
天下り式でもいいから、もっとばんばん「高度な」内容取り扱ってもいいんじゃないか?
高校数学は「計算技能の習得」を目標とする(幾何学も含んで)
大学数学でその背景の理論をきっちり学習する
という位置づけがいいと思うのは俺だけだろうか?

中国なんか以前は中2(相当学年)で2次方程式を複素解含めて学んでいたし、中3(相当学年)でlogや三角関数(加法定理なども含み、単なる三角比ではない)扱ってるのを見たことある。
こんな調子で高校になったら、平気で複素関数論とかラプラス変換とかやりかねない。
こんな国と日本が競争するのに、いまの「ゆとりたっぷり」の内容ではお話にならない。

36 :132人目の素数さん:04/01/30 03:28
無理

37 :132人目の素数さん:04/01/30 03:44
家庭教師をやっていると高校数学は今のくらいでちょうどいいかな、なんて思ってくる。
32で挙げているものを高校で教えようなんて絶対にムリ。
よほど数学が得意で好きな子なら話は別かもしれないが…。

38 :エラトステネスの篩:04/01/30 05:51
36や37の意見は甘えだと思います。
37など、教わってる生徒がかわいそうです。
32には同感です。

そのかわり、くだらん地歴・公民の配当時間を削減すればいい。


39 :132人目の素数さん:04/01/30 06:13
>>38
そうかもねw

40 :132人目の素数さん:04/01/30 06:55
>>38は世間知らず。
別に世間知らずが悪いとは言わないが、
そのせいで無茶苦茶なこと言ってるのはバカ。

41 :132人目の素数さん:04/01/30 07:19
高校より大学の教養レベルの方が「教育」として失敗してるケースが多いと思われ。

42 :132人目の素数さん:04/01/30 07:29
数学を選択科目にする


43 :あぼーん:04/01/31 14:18
40 は敗北者だ。

44 :132人目の素数さん:04/01/31 16:00
>>32
俺は反対だな。数学がこれ以上つまらなくなると益々勉強しなくなると思う。
むしろ、応用面を重視して、力学からベクトルと微積分、微分方程式を導入。
今のような確率論は廃止して、統計学の重要性から正規分布などを導入する。ここまでが2年生。
理系に対しては3年生からは電気回路からグラフ、波動方程式、そこから虚数単位を導入する。
現行の2次方程式・2次関数や数列、数Vの細かい定理などは応用が作りにくいので廃止。

>>38
歴史は要らんね。小中高と大量の時間を割いて得た知識は殆どトリビア。
代わりに現代社会や政治経済をやって、そこから歴史を逆行するというのが正しいと思う。
現代社会や政治経済を軽視するのは、一般人が世の中のことを理解してしまうと困るという政治家の思惑でもあるのか?

45 :132人目の素数さん:04/01/31 16:47
そもそも先生自身がろくすっぽ数学を理解できてないのに
それを生徒に教えようってんだから、どうしても無理が出るよな。
(´▽`)
噂では、マイナス同士の掛け算の答えがプラスになることを
説明できない先生が半数近くいると聞くのだが。


46 :132人目の素数さん:04/01/31 16:51
>>44
>現代社会や政治経済を軽視するのは、一般人が世の中のことを理解して
>しまうと困るという政治家の思惑でもあるのか?
あるよ。そもそも資本主義というのは、搾取される人間がいないと
成り立たないもの。

47 :132人目の素数さん:04/01/31 16:56
>>45
それを君は説明できるのか?
環を考えて、マイナスを逆元と捉えると-(-x)=xとなり、
したがって(-1)*(-1)=-(-1)=1というわけだが、環論の基礎でも勉強しないと分からないだろう。
むしろ複素平面を持ち出して*-1は180度回転だから2回かけて元に戻るなどという
いい加減な説明に納得させられてしまった工房時代を腹立たしく感じる。

48 :132人目の素数さん:04/01/31 17:07
>>47
厳密にはそうなのだろうが、そもそもマイナス同士の掛け算を定義した人が
環だの逆元だのって理解してたと思う?

49 :132人目の素数さん:04/01/31 17:34
-x の定義より x+(-x)=0 なので、
x=-α のとき -α+(-(-α))=0 だから、
-(-α)=α

じゃないの?

50 :49:04/01/31 17:38
環論を考えずに、ってつもりだったけど
暗黙的に環論使ってるか。

51 :132人目の素数さん:04/01/31 17:43
>>47
馬鹿か、整数の定義から説明しないと意味無いだろが。
整数が環をなすかどうかが重要なのだから。
寧ろ環という言葉は不要

52 :132人目の素数さん:04/01/31 17:47
一般に説明するには
実数上で(-x)(-y)=xyの証明までやらなきゃならん。

53 :132人目の素数さん:04/01/31 17:57
ちなみに、中一の教科書でどうやって納得させてるかって言うと、

-1*4=-4, -1*3=-3, -1*2=-2, -1*1=-1, -1*0=0, -1*-1=?

1*4=4, 1*3=3, 1*2=2, 1*1=1, 1*0=0, 1*(-1)=-1, 1*(-2)=-2, …

のときと比較して、「自然さ」に訴えている。
 数学的には、乗法群の連続性?


54 :132人目の素数さん:04/01/31 18:04
数学ではなく「計算」と言う意味なら自然さで十分だと思う。

55 :132人目の素数さん:04/01/31 18:19
ドモアブルの定理は非常に便利だぞ

56 :132人目の素数さん:04/01/31 18:33
>>52
んなもん整数の場合が出来りゃあすぐなんだよ

57 :フォイエルバッハの円:04/01/31 20:18
>>44
 まず微分方程式を扱うには、たとえ1階1次に過ぎないとしても、eなしには不可能です。eを扱うには無限級数の話をしないと、天下り的にeが飛び出すのは唐突過ぎます。

 最終目標を3年次に「1階1次連立 及び2階1次の 差分方程式及び微分方程式が解ける」ということにしてはどうでしょう。
 こうすると、前者では固有値及び固有ベクトルの計算に必要な線型代数の知識が、後者では特性方程式が複素解になった時の対応として、eの複素数乗の計算を扱う必要が
出てくるので、初等関数(三角・指数・対数・双曲線三角)を複素変数にまで拡張した議論をすることとなります。
 カテナリーを現行でも扱ってるので、双曲線三角は導入出来るはずです。
 なお、差分方程式と微分方程式にはアナロジーの関係があるということを強調しておくと、導入が楽になると思います。

 数列では平気で二重Σや無限級数を扱ってるのですから、関数の方も二重積分や無限積分(変格積分)を導入していいのではないでしょうか。
 これは統計学の関係もあるので、文系コースでも必修としていいと思います。

 それ以外にも、ベクトルの外積とか、積率母関数を用いて各種分布の平均や分散を求めるとか、
いろいろ触れなければならないことがあって、大変ですなあ。偏微分やラグランジェの未定係数法
なんかは、高専3年では扱ってるようですが・・・?

 そのかわり、思い切って物理を高校でやるの、やめませんか? 
 極論ですが、微積分の初歩やベクトルの外積も知らずに力学や電磁気学をやるのは乱暴です。



58 :132人目の素数さん:04/01/31 23:48
マイナス同士の掛け算って中一の一学期なんだから
「自然さ」に訴えなきゃダメですよ。

59 :132人目の素数さん:04/02/01 00:24
>>44, 57
いまの高専で似たようなことをやってるよ。
「新編 高専の数学 1,2,3」(森北出版)など参照。

60 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/02/01 12:59
Re:>>53
7行目まではいいのだが、連続という語の使い方が間違っている。
強いて言うなら、自然数の加法乗法を、
整数に延長してできる演算が整数の加法乗法である
というところか。
延長の方法として、先ず加法を整数に延長し、
その後乗法を分配法則を利用して延長することが考えられる。

61 :アポロニウスの円:04/02/01 19:31
そもそも 大学のセンセは 高校生にどこまでの数学スキルを期待しているんでしょうか?
特に数学を多用する 経済学部と理工学部系統のセンセに 聞いてみたいと思います。
「今のカリキュラムの内容の100%理解で十分」などという、とてもホンネとは思えないような回答は 無用にて。

62 :132人目の素数さん:04/02/01 20:10
複素数平面deleteまで後一年だった、馬鹿リアル工房(三年)がためしに回答。

#説明ってこんなんでいいのかすぃら?

・(-a) -(-a) = 0
・(-a) + (a) = 0
任意のb∈Rに対して、-b∈Rは一つしか存在しない
( -b = -b + (b - b') = (-b + b) -b' = -b' )。よって、-(-a) = aである。

>>52
・(-x)(-y) +(-x)(y) = (-x)(-y + y) = 0
・xy +(-x)(y)=(x - x)y = 0
さらに、任意のb∈Rに対して、-b∈Rは一つしか存在しない(証明略)。
よって、(-x)(-y) = xy。

>>45
うちの数学の先生、全焼記号書いたらよく意味がわからないって言ってました。チンゲガ!
まあ、高校範囲以外知らなくても別にいいんだけど…。工房までにもなれば自分で調べるさ。

>>32
うちは、偏差値では上の方に属する高校ですが、多くの生徒が微積の意味がわからず、
ひどい人はグラフの意味がわからず(別に直積集合の部分集合という意味ではなく)、
公式や定理がなぜそうなるかなど興味の範疇の全く外で、行列はほぼ全員がなぜあんなものがあるか
答えられません。公理の存在など知るはずもなく、多くが、不思議な`感覚の海'を泳いでいるようです。

今の状態のまま、高難易度なカリキュラムが導入できるとは思いません。

63 :132人目の素数さん:04/02/01 23:52
>>411
アンテナの向きがいがんでるんじゃないか?

64 :132人目の素数さん:04/02/01 23:54
誤爆スマソ

65 :132人目の素数さん:04/02/02 00:59
差分方程式にE演算子、微分方程式にD演算子使って解く方法程度の話なら、

極めて機械的なので、高校生程度にも履修できると思う。

66 :132人目の素数さん:04/02/02 02:18
>>55
禿同。さらに言えば高校でやるなかではあれが一番面白い定理だと思う。

67 :132人目の素数さん:04/02/02 09:37
倍角の公式を導けたり、ド・モアブルの定理は便利だよね。
(n∈Nとして、定理としては自明だけど)
オイラーの公式も発展内容として紹介してもよいと思う。

68 :132人目の素数さん:04/02/02 10:53
ここ数十年間の高校数学カリキュラムの本当の問題は、
あの項目がないこの項目がないという個別論よりも、
項目が切れ切れに配置されて項目間の関連が見えなくなっていることだろ。
旧過程でも旧旧過程でも三角関数と指数・対数関数は別々の章にあったことを
思い出せ。1次変換をやるくせに連立1次方程式をベクトルと行列で
表さずに済ませた時代をおぼえてるか?

69 :132人目の素数さん:04/02/02 12:35
今のカリキュラムって何を目指そうとしているのかがよく見えません。
技法を体得するということなら、数学的な関連を無視して、外積でも偏微分でもばんばん取り込めばいいと思います。
物理の問題解くために これらの技法知らないのは 白兵戦も同然です。
あんなもの、(物理のための)機械的な公式運用だと言い切ることも、乱暴だがそういう立場なら可能。

逆に数学の体系的理解を目指すなら、項目の配置にはもう少し配慮をお願いしたいものですな。
幕の内弁当みたいで、しかも触れるべき項目の歯抜けも目立つし・・・。



70 :132人目の素数さん:04/02/02 12:54
公理的集合論は駄目なの?

71 :132人目の素数さん:04/02/02 13:03
集合なんていらんだろ
みんなが数学専攻するわけではないし

72 :132人目の素数さん:04/02/02 13:23
なんというかな?数学が何たるか、わかる良い機会になると思うけど…。

73 :132人目の素数さん:04/02/02 13:27
ニューマスだっけ?なんかアメリカとかで
中学生ぐらいから集合論を教えるってやって
んで失敗してんじゃん。二の足踏むこたあねえよ

74 :132人目の素数さん:04/02/02 13:29
69の言う技法としての数学で良いんじゃないの、
高校までは。

75 :132人目の素数さん:04/02/02 13:34
>>73
あれなんで失敗したの?難しいから?

76 :132人目の素数さん:04/02/02 13:36
つまんねえからだろ、多分。
2次関数もやってないのに
Zornの補題見て興奮する中学生もおるまい。

77 :132人目の素数さん:04/02/02 13:43
そうですね。そのころは数学が随分と威張っていた時代でありまして、
物理とか科学とかそんなものと無関係に数学的価値が存在するという
哲学が全世界を風靡しておりまして、その上で見ますと、初等・中等教育
の数学と大学で教えている数学とに非常な差があったわけです。
その辺を埋めて、大学に合わせて小・中学校もやれという運動ができまして、
それがニューマスです。ちゃんと指導者がいたところでは子どももよく理解した
んですけれども、やっぱり指導者の方に問題があって、すぐつぶれたん
ですけれども。そのときに初等幾何が排除されて、それ以後は本格的には
復旧していなくて、そのために論理に関しては今は非常に弱い。
中学校にはあるんですけれども、本当は教えていないというのが私の感触です。
だから、今度は、中学では非常に軽くして、高等学校では明示しましたので、
もう少し事態はよくなるのではないかと思っております。
http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/12/kyouiku/gijiroku/003/980502.htm

だって。

78 :132人目の素数さん:04/02/02 14:09
>>77見てると、

>やっぱり指導者の方に問題があって

がニューマス最大の盲点なのか?
アレすら理解できずに教師になる香具師がいるということだな…。

79 :132人目の素数さん:04/02/02 14:23
高校教育において、その最終目標(但し理系の生徒を念頭に)としては・・・
数学を計算技法の習得の時間とみなして、2階1次微分方程式(複素解あり)まで解けるようになった方がいいですか?
それとも、「ニューマス」チックな数学を学ぶ場(ラッセルの逆説とか扱う)とした方がいいですか?

80 :132人目の素数さん:04/02/02 15:30
こりゃ駄目だ・・・


http://nicosia.is.s.u-tokyo.ac.jp/pub/essay/hagiya/essay/ronri_to_suiron
しかし、僕自身の興味とは裏腹に、「平面幾何の
公理的構成」は、どうも、教師泣かせの項目であ
ったらしい。形式論理の本質も意義も余りよく理
解されていなかったので、この項目をどう教えて
                    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
いいか分からないという教師が多かったようだ。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
この項目を完全に無視する教師も続出した。「平
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
面幾何の公理的構成」に限らず、一般に、昭和48
年の高校数学の評判は余りよくなかったようだ。
本来ならば10年続くべきところが、昭和48年の高
校数学は9年で打ち切られ、昭和57年の高校数学
にとって代わられる。昭和57年の高校数学では、
「集合と論理」も「平面幾何の公理的構成」も削
除され、その代わりに、二次曲面が復活した。形
式論理のような役に立たないことを教えるより、
二次曲面を教えた方がはるかにましだという数学
者の意見が受け入れられたからだろうか。

81 :132人目の素数さん:04/02/02 20:14
正直、ドモアブルから三倍角の公式を導いた時は感動ものだった

82 :132人目の素数さん:04/02/04 06:09
>>62
Rが環をなすということを前提とすればそれでよし。
しかし問題とするのは、Rが環をなすか?ということ
これはZが(我々のよく使う)ある演算を入れることで環となることが云えれば
それの商体をとって、完備化したものであるから、Rが環である事はZがそうである
という前提をおけば自明。
つまり主題はZである。
この話題については↓
ZFCからN、Z、Q、R、C
ttp://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1074200704/


83 :132人目の素数さん:04/02/04 18:37
>>132
倍角と言うよりは、加法定理そのものが導けるのに感動した。
加法定理出来れば、その他の三角関数の公式ほとんど導けるしね。
それまでは、誰も(学校教師とか塾講師とかが)加法定理の証明をしたがらないのに(面倒だって)、親父殿がド・モアブルを使って2,3分で証明してくれやがった時は感涙に噎んだもんだよw
ちなみに、学校教師とか塾講師が証明を嫌がったのは、単にド・モアブルの定理を履修してなかったからだと思うが。

84 :132人目の素数さん:04/02/04 21:06
>>83
現・(旧過程)では、…というより俺の持っている教科書では
(cosx + isinx)*(cosy + isiny) = cos(x+y) + isin(x+y)
を三角関数の加法定理を用いて示す。
( = (cosxcosy - sinxsiny) + (sinxcosy + sinycosx)i に適用)
ド・モアブルの定理はほぼ自明だから載ってない(と解釈している)。

ということで、
>ド・モアブルを使って
となると、トートロジーになっちゃう希ガス。

現・(旧過程)では、…というより俺の持っている教科書では
三角関数の加法定理は図形で証明されている。

これ以外、加法定理の証明として思いつく方法は、
・オイラーの公式の利用 ・ベクトルの内積、外積の利用
しかないな。が、現過程では全て範囲外という…。ベクトルに限って言えば、
外積を定義するか、図形に翻訳すればOKか…。

85 :132人目の素数さん:04/02/04 21:24
最近の怠惰のリハビリと数学板だから邪魔になるまい、示しておきます。

・オイラタン
e^(i(a+b)) = cosa + isinb = e^(ia) * e^(ib) = (cosa + isina)*(cosb + isinb)
= cosa*cosb - sina*sinb + (sina*cosb + cosa*sinb)i 実部と虚部比較。
・ベクトルタン
(cosa,sina)・(cosb,sinb) = cosa*cosb + sina*sinb
= sqrt(cos^2a + sin^2a)*sqrt(cos^2b + sin^2b)*cos(b-a) = cos(b-a)
(cosa,sina)×(cosb,sinb) = cosa*sinb - sina*cosb
= sqrt(cos^2a + sin^2a)*sqrt(cos^2b + sin^2b)*sin(b-a) = sin(b-a)

86 :132人目の素数さん:04/02/06 02:27
e^z=Σ[n=0〜∞](z^n)/n!
sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i) cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2
と定義して終了。

87 :132人目の素数さん:04/02/07 09:36
>>30
Math E-net Wiki
http://www2.hamajima.co.jp/~mathenet/
みたいな感じ?

>>62
高校数学ならいろいろあるんだけどね。
http://www.medaka-college.com/book-support/#4Dapple

88 :132人目の素数さん:04/02/07 09:36
>>87
すいません、誤爆ですた。

89 :132人目の素数さん:04/02/11 13:26
自分は1965年生まれですが、当時の共通一次(今のセンター試験)は数学Tだけだった。

といっても、今のTではなく、数と式、方程式、不等式、平面図形と式、ベクトル、二次関数、三角関数(今の三角比程度)、確率だったが、共通一次を受けるのに空間ベクトルや二次関数の微分積分、数列も必要なかった。
ましてや複素数平面なんて聞いたこともなかった。
今の受験生は文系でも国立行くためには数学でもやらなきゃならないことが自分たちのころと比べて圧倒的に多いんだね。

90 :132人目の素数さん:04/02/11 18:39
>>89

数学T、UB、Vの時代の終盤ですね。

当時の数学Tは盛り沢山だったわけだが、確かに共通1次の数学の負担は
軽く、平均点も高いことが多かった。でも国公立文系2次は大体数学T、UB
だからそんなに軽くは無かった筈。

91 :132人目の素数さん:04/02/11 20:01
基礎解析・代数幾何世代ですが、私立だったこともあって、かなり独特なカリキュラムでした。
1年次
 数と式・方程式と不等式・平面図形と式(2次曲線まで)・有理関数と無理関数(ルートのこと)
 図形の復習(中学の初等幾何)・三角関数(加法定理まで)・指数/対数関数
 場合の数・集合算命題算・合同式
2年次
 ベクトル(外積含む)・行列・行列式・固有値・複素平面と極座標
 数列・微積分・関数と数列の極限
文系はここまで。
3年次
 微積分(無限積分含む)・微分方程式・確率・確率分布・統計推定と検定
 数値計算・複素数の関数への導入(オイラーやドモアブルの公式等)
理系と文系で経済進みたい人はここまで。以前数Vまで全員必修だったこともあったそうです。

92 :132人目の素数さん:04/02/12 03:45
複素数空間は余り要らんかも知れんが、複素数に対して
余計もやもやした胡散臭い感じを持った生徒が増えるんだろうな。

93 :132人目の素数さん:04/02/12 04:45
>>92
教科書に「実は実数を単に二つ並べて掛け算をこう定義しただけー!!」とか
「二次元ベクトルとかわんねーよ!ゴルァ!」とか書けばみんな安心してくれると思う。

方程式と仲の良いベクトルぐらいで教えてあげればいいかな。

94 :132人目の素数さん:04/02/13 21:55
いや、多項式の解の拡張の方が分かりやすいだろう。。。
逆に二次元ベクトルと同じとして
くるくる回したりするほうが混乱すると思う。

95 :132人目の素数さん:04/02/13 23:14
天下り式にオイラーやドモアブルの公式を振り回すのは
高校生にとっては苦しいでしょうか?
真数<0の対数とか、三角関数と指数・対数関数の関係とかを
押さえられる利点はありますが・・・

96 :132人目の素数さん:04/02/14 03:30
>>94
多項式の解の拡張として導入して
2次元ベクトルとしてくるくる回されたときには
なかなかファンタスチックなものが出てきたなと思ったよ。

97 :132人目の素数さん:04/02/18 14:28
ファンタスティックか。
そうだよね。

98 :132人目の素数さん:04/02/18 18:50
高校の数学課程を上級向け(理数経済向け)と一般向け(文法向け)に分けるべき。
あと、コンピューターリテラシーの科目も設けるべき。
上級向けでは論理、式、二次関数、軌跡、解析幾何、集合論、数論の基礎、証明、数列、個数の処理、
確率、三角関数、ベクトル、平面幾何、行列式、複素数平面、行列、固有値、指数対数関数、
微分積分、初等解析、確率分布、統計、微分方程式、数値計算、代数学の基礎を範囲とする。
そうすると、大学初年度〜2年度に、位相、ルベーグ積分、確率論、関数論、常・偏微分方程式、
二次形式、ジョルダン標準形、複素解析、代数学、多様体論、数理統計、フーリエ・ラプラス展開が
できるし、幾何や関数解析や応用数理を3年時にやれる。

99 :132人目の素数さん:04/02/20 06:36
三角関数の加法定理は、1次変換の行列表現 → 回転の合成 が高校生にも納得しやすい。
回転+相似拡大 で 虚数単位、複素数の演算も、実感を伴う導入ができる。

100 :132人目の素数さん:04/02/24 01:07
行列と複素数平面の両方ともというのは、高校カリキュラムにとってはちょっと
欲張りすぎたのだろうか・・・?
どうしてもどちらか一方だけにするなら、以下のどちらがいいですか?
1.行列 以前のように一次変換も教え、線型代数の初歩程度までカバーする
2.複素数 ドモアブルやオイラーの公式も教える過程で複素関数も触れる

101 :132人目の素数さん:04/02/27 21:09
方べきの定理は面白いなあ

102 :132人目の素数さん:04/02/27 21:11
そりゃ複素平面を残すべきだ。
行列はつまらん

103 :132人目の素数さん:04/02/28 00:16
ニューマスではZornの補題なんかやってたの?

104 :132人目の素数さん:04/02/28 00:19
複素数平面を有理数の xy 座標に応用すれば非常に便利なのに...

105 :132人目の素数さん:04/02/28 00:30
逆に四元数を導入してみるのはどうだろう?

106 :132人目の素数さん:04/02/28 01:57
韓国の高校数学にどんどん負けていくね

107 :132人目の素数さん:04/02/28 05:22
漏れは高校の数学も大学の教養数学もさっぱりだった。
しかし、MS-DOSのマニュアルで128次元の数列が可能というのを見て、頭が爆発した。
それがきっかけでカオスなんかに興味を持てたんだ。
何がきっかけになるか分からないから、基礎は苦労しておくもんだ。

108 :132人目の素数さん:04/02/28 05:28
思えば、小学生の時先生に聞いたのだ
『なんで数直線は一本しかないの?一杯あってもいいじゃない?』
ここでまともな教師に出会っていれば、大学まで遠回りはせずに済んだ。
漏れにとって義務教育は、有害な抵抗装置でしかなかったよ。

そうそう、複素平面を高校生に直感的に教えるには、パターン認識とかを実行させてみるといい。
あれは感動的だからね。面白ければ勝手に勉強して理解してくれるよ。
一度3次元のくびきから脱してしまえば、想像力は飛躍的に増す。漏れの経験だ。

109 :132人目の素数さん:04/02/28 10:25
インド最強

110 :132人目の素数さん:04/02/29 21:24
今回複素数平面が消えたら、大学の教科書では、線形代数、微積分のいずれの科目になるのだろう?
大学でやっている複素数平面関係の教科書があったら教えてください。

111 :132人目の素数さん:04/02/29 21:37
>>110
線型・微積には支障ないでしょ。
複素解析などの理解に多少困難が生じるくらいでは?

112 :132人目の素数さん:04/03/01 15:03
数T・U・V→代幾・微積・確統の境目のじじーです
上の方のレスで複素平面やってないとありましたが
普通に習っていますた。高校生が理解できるほんのお遊び程度だったんだろうけど
ε-δ論法、テイラー、マクローリン、は当り前だった。
俺は習熟度別クラスで馬鹿クラスだったけどお利口さんクラスはもっとやっていたかも。
>>34の履修内容だといまの高校生は何をやっているんだろう・・・
回転体も一次変換もないんじゃ入試問題も面白いのがなくなっちゃうね。
しかも微分方程式もないなんて、合同式はどうなんだろう?
と独り言


113 :132人目の素数さん:04/03/02 13:51
複素数を削っても其処まで困らないのでは。むしろ行列を削っても
いいかもね。あれだけ中途半端だと多分何やってるのか誰も
分からんだろ。代わりにTaylor展開や微分方程式、お遊びで
ε-δなんかやると実用的+ちょっと厳密でいいかも知れない。
でもTaylor展開やるんだったらde Moivreくらいやっておきたいな。
大学の微積がいきなり複素解析入門から始まったら楽しいだろうな。



と妄想してみますた。

114 :132人目の素数さん:04/03/04 21:44
>>112
なんだあんた? 自慢したいだけか?

115 :132人目の素数さん:04/03/04 23:34
自慢を聞きたいなら、河東先生のページがお勧め。
彼の経歴はたしかに凄いので、読んでて腹がたつけど。

116 :132人目の素数さん:04/03/07 13:55
241

117 :132人目の素数さん:04/03/07 21:39
複素数平面って
大学の数学では、どの科目で出てくるの?
例:線形代数

118 :132人目の素数さん:04/03/07 23:01
>>117
実数って高校の数学のどの科目で出てくるの?
例:ベクトルと図形

ってなくらいどの場面にも出てきますよ。

119 :132人目の素数さん:04/03/08 03:21
なんか実数二つ並べただけのものにそんなに使い道があるのかが
不思議です。代数学の基本定理とは関係ありませんよね?

誰か教えてください。

120 :132人目の素数さん:04/03/08 04:12
>>119
なかなか下手な釣り師ですね

121 :132人目の素数さん:04/03/08 14:02
っられてみょぅ:
>>119
「積」が定義されるのがポイント.
「実数二つ並べただけのもの」=2次元数ベクトルが成すのは加群なので,
元同士の演算は1つ(和)しかないのだ.

122 :132人目の素数さん:04/03/08 14:46
>>119
代数学の基本定理はどうか知らないが
電気ではインピーダンス、
音響では定位と音量に使う。

123 :132人目の素数さん:04/03/08 20:10
>>120
つりじゃありません。ずっと疑問に思ってただけですよ。

>>121-122
レスありがとうございます。
なんとなく…わかったような、わかってないような、そんな感じですが、ありがとうございます。

124 :132人目の素数さん:04/03/22 15:45
俺は1次変換を習わなかった。高校でも大学でも。
誰か、どういうものか教えてくれ。

125 :132人目の素数さん:04/03/22 16:14
「複素数平面」なんかくそくらえ。
複素平面で充分じゃわい。

126 :132人目の素数さん:04/03/22 20:40
複素数平面って高校の課程から消えたら
大学のどの段階で教えることになるの?

127 :132人目の素数さん:04/03/22 22:01
「複素数平面」なんてくそくらえ。
複素平面で充分じゃわい。

128 :132人目の素数さん:04/03/23 02:15
ちょっと新課程の数 II を見てみた。

旧過程
1。図形と方程式
2。三角関数
3。指数と対数
4。微分と積分

新課程
1。式と証明
2。複素数と高次方程式
3。図形と方程式
4。三角関数
5。指数と対数
6。微分と積分

……あれ? 1.5 倍?(。∀゚) 

129 :132人目の素数さん:04/03/23 02:35
>>128
標準単位数も増えるからね

130 :132人目の素数さん:04/03/23 08:14
数1と数Aのあとで数2の三角関数にはいったが、うっかり分数式の
計算やってないとできない三角関数の計算をやらせてしまった。分数式
の計算って、数2で初めてやるんだね。

131 :132人目の素数さん:04/03/24 23:44
十六元数キボン

132 :132人目の素数さん:04/03/25 10:46
微分方程式を学んだ世代の俺には隔世の感があるな。

133 :132人目の素数さん:04/03/28 02:10
複素数を数学Iに前倒しできないのかな?
という漏れは基礎解析・微積世代

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