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分からない問題はここに書いてね161

214 :199:04/04/08 20:07
>156
1<a<b<cの自然数の条件で漏れも答えは(2,3,5)の一組になった。
多分同じ解法使ってると思う。

(ab-1)(bc-1)(ca-1)=abc(abc-a-b-c)+(ab+bc+ca-1)だから(ab-1)(bc-1)(ca-1)が
abcで割りきれる必要条件は(ab+bc+ca-1)/abcが整数の時で、abc≦│ab+be+ca-1│の
時である。
1<a<b<cよりabc≦│ab+be+ca-1│は abc≦ab+be+ca-1と絶対値を外す事ができる。

abc≦ab+be+ca-1 より abc+1≦ab+bc+ca ―@
左側の項数は3つなのでa=3と仮定する。
 a=3の時 @の左辺にa=3を代入する
  3bc+1≦ab+bc+ca≦bc+bc+bc=3bc であるので 
  3bc+1≦3bcとなり、b,cは自然数であるのでa=3は矛盾する。
 
 a=k(k≧3)の時同様にすると
  kbc+1≦ab+bc+ca≦bc+bc+bc+.....+bc=kbcで有るので
  a=k(k≧3)の場合は必要条件を満たさない。

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